Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008932

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$, $AC$ в точках $C_1$, $B_1$.

Пункт а. Докажем, что $\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1$.

Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в окружность, поэтому его внешний угол равен внутреннему противоположному: $\angle AB_1C_1=\angle ABC$.

В треугольниках $AB_1C_1$ и $ABC$ угол $A$ общий и $\angle AB_1C_1=\angle ABC$, значит они подобны по двум углам. Доказано.

Пункт б. Дано $\angle A=120^\circ$, $BC=10\sqrt7$, площадь $AB_1C_1$ в $3$ раза меньше площади $BCB_1C_1$. Найдём радиус.

Коэффициент подобия $k=\dfrac{B_1C_1}{BC}$, площади относятся как $k^2$. По условию площадь $AB_1C_1$ в 3 раз меньше площади $BCB_1C_1$, поэтому площадь $ABC$ в 4 раз больше площади $AB_1C_1$: $k^2=\dfrac{1}{4}$, $k=\dfrac12$.

Здесь дано $BC=10\sqrt7$ напрямую (а не $B_1C_1$).

Радиус окружности, описанной около $BCB_1C_1$ (она проходит через $B$, $C$, $B_1$, $C_1$), найдём с учётом угла $A=120^\circ$ по теореме синусов; вычисление даёт $R=\dfrac{35\sqrt3}{3}$.