Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008929

В трапеции основания равны $4$ и $9$, диагонали равны $5$ и $12$.

Пункт а. Докажем, что диагонали перпендикулярны.

Перенесём диагональ $BD$ параллельно самой себе так, чтобы её начало совпало с концом диагонали $AC$. Образуется треугольник, две стороны которого равны диагоналям ($5$ и $12$), а третья — сумме оснований $4+9=13$ (так как при таком переносе основания складываются вдоль одной прямой).

Проверим этот треугольник: $5^2+12^2=25+144=169=13^2$. По обратной теореме Пифагора он прямоугольный, причём прямой угол — между сторонами $5$ и $12$, то есть между диагоналями.

Значит, диагонали трапеции перпендикулярны. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь трапеции.

Если диагонали перпендикулярны, площадь четырёхугольника равна половине их произведения: $S=\dfrac{1}{2}d_1 d_2=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$.