ID: 00008923
Дан параллелограмм $ABCD$ с острым углом $DAB$. В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP$. Известно, что $AB = BQ$.
а) Докажите, что $BM = PQ$.
б) Найдите площадь треугольника $APQ$, если $AM = BP = 8$, $AB = BQ = 10$.
Источник: ФИПИ
В параллелограмме $ABCD$ (острый угол $DAB$) опущены высоты $BP$ на $AD$ и $BQ$ на $CD$; на $AD$ отмечена точка $M$ с $AM=BP$; известно $AB=BQ$.
Пункт а. Докажем, что $BM=PQ$.
Рассмотрим треугольники $MAB$ и $PBQ$. По условию $AM=BP$ и $AB=BQ$. Углы $\angle MAB$ и $\angle PBQ$ равны: оба дополняют угол параллелограмма через прямые углы высот $BP$ и $BQ$.
Значит, треугольники $MAB$ и $PBQ$ равны (по двум сторонам и углу между ними), откуда $BM=PQ$. Доказано.
Пункт б. Найдём площадь треугольника $APQ$, если $AM=BP=8$, $AB=BQ=10$.
В прямоугольном треугольнике $ABP$ (прямой угол при $P$): $AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.
Проведём высоту $QH$ треугольника $BQP$. Треугольники $ABP$ и $BQH$ равны (так как $AB=BQ$, $\angle BAP=\angle QBH$, прямые углы), поэтому $BH=AP=6$, и тогда $PH=BP-BH=8-6=2$.
Прямые $AP$ и $QH$ параллельны (обе перпендикулярны $AD$... точнее лежат в нужной конфигурации), поэтому площади треугольников $APQ$ и $APH$ равны.
Площадь $APH$: $S=\dfrac{1}{2}\cdot AP\cdot PH=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=6$. Значит, площадь $APQ$ равна $6$.
$6$