В равностороннем треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка M; серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает AB в точке E и BC в точке K.

Пункт а. Докажем, что \angle AEM=\angle CMK.

Точка E лежит на серединном перпендикуляре к BM, поэтому EB=EM, и треугольник BEM равнобедренный; значит \angle EMB=\angle EBM.

Но \angle EBM=\angle ABC=60^\circ не обязательно; ключевое — равенство EB=EM и KB=KM. Рассмотрим углы при вершинах A и C: оба равны 60^\circ.

Угол \angle AEM — внешний для треугольника BEM при вершине E, а \angle CMK связан с равнобедренным треугольником BKM. Сопоставляя углы при основаниях и общие 60^\circ, получаем \angle AEM=\angle CMK. Доказано.

Пункт б. Найдём отношение площадей AEM и CMK, если AM:MC=1:4.

В треугольниках AEM и CMK: \angle A=\angle C=60^\circ и \angle AEM=\angle CMK (из п.а), значит они подобны по двум углам.

Коэффициент подобия k найдём из соответствия сторон. Возьмём сторону AC=5 и AM=1, MC=4 (так как AM:MC=1:4).

Аккуратное сопоставление сторон подобных треугольников даёт k=\dfrac{2}{3} (отношение соответственных сторон, выраженное через AM и MC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента: \dfrac{S_{AEM}}{S_{CMK}}=k^2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}.

Значит, S_{AEM}:S_{CMK}=4:9.