Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008916

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (прямой угол при $C$) точка $M$ на катете $AC$ с $CM=BC$, точка $N$ на продолжении катета $BC$ за $C$ с $CN=AC$.

Пункт а. Докажем, что медианы $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.

$CP$ — медиана треугольника $ABC$ к стороне $AB$, $CQ$ — медиана треугольника $NCM$ к стороне $NM$.

Сравним треугольники $ABC$ и $NCM$: по построению $CA=CN$ и $CB=CM$, а углы при вершине $C$ равны ($\angle ACB$ и $\angle NCM$ — оба прямые/вертикальные).

Значит, треугольники $ABC$ и $NCM$ равны, и поворот на $90^\circ$ вокруг $C$ переводит один в другой; при этом медиана $CP$ переходит в медиану $CQ$.

Отрезок и его образ при повороте на $90^\circ$ перпендикулярны, поэтому $CP\perp CQ$. Доказано.

Пункт б. Найдём $KL$, если $BC=1$, $AC=5$.

Введём координаты: $C=(0;0)$, $A=(5;0)$, $B=(0;1)$. Тогда $M=(1;0)$ (на $AC$, $CM=1$) и $N=(0;-5)$ (на продолжении $BC$, $CN=5$).

Прямая $AB$ через $(5;0)$ и $(0;1)$: $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{1}=1$, то есть $x+5y=5$.

Прямая $MN$ через $(1;0)$ и $(0;-5)$: $\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-5}=1$, то есть $5x-y=5$.

Точка $K=MN\cap AB$: из $5x-y=5$ имеем $y=5x-5$; подставим в $x+5y=5$: $x+5(5x-5)=5\Rightarrow 26x=30\Rightarrow x=\dfrac{15}{13}$, $y=\dfrac{10}{13}$. Итак $K=\left(\dfrac{15}{13};\dfrac{10}{13}\right)$.

Прямая $BM$ через $(0;1)$ и $(1;0)$: $x+y=1$. Прямая $AN$ через $(5;0)$ и $(0;-5)$: $x-y=5$.

Точка $L=BM\cap AN$: складывая, $2x=6\Rightarrow x=3$, тогда $y=1-3=-2$. Итак $L=(3;-2)$.

Длина $KL=\sqrt{\left(3-\dfrac{15}{13}\right)^2+\left(-2-\dfrac{10}{13}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{24}{13}\right)^2+\left(\dfrac{36}{13}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{24^2+36^2}}{13}=\dfrac{\sqrt{576+1296}}{13}=\dfrac{\sqrt{1872}}{13}$.

Упростим: $1872=144\cdot 13$, поэтому $\sqrt{1872}=12\sqrt{13}$, и $KL=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$.