ID: 00004458
Найдите наибольшее значение функции $y = 10\sin x - \dfrac{42x}{\pi} - 12$ на отрезке $[-\dfrac{5\pi}{6}, 0]$.
Источник: ФИПИ
Найдём производную: производная $\sin x$ равна $\cos x$.
$$y' = 10\cos x - \dfrac{42}{\pi}.$$
Оценим производную: косинус не превышает $1$, поэтому $10\cos x \le 10$, а $\dfrac{42}{\pi} \approx 13{,}4 \gt 10$ — производная отрицательна на всём отрезке.
Значит, функция монотонно убывает на $\left[-\dfrac{5\pi}{6};\ 0\right]$, и наибольшее значение достигается на левом конце, в точке $x = -\dfrac{5\pi}{6}$.
Подставляем, помня, что $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$:
$$y\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = 10 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) - \dfrac{42}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) - 12 = -5 + 35 - 12 = 18.$$
Наибольшее значение функции равно $18$.