Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00004430

Слева — разность логарифмов с основанием $7$. Свернём её в один и сравним аргументы. Самое аккуратное — область определения у правого логарифма.

Выражения $2x^{2}+12\gt 0$ и $x^{2}-x+12\gt 0$ положительны всегда. А $2-\dfrac1x=\dfrac{2x-1}{x}\gt 0$ требует $x\lt 0$ или $x\gt \dfrac12$. Это ОДЗ.

Сворачиваем левую часть в $\log_7\dfrac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12}$ и переходим к аргументам (основание $7\gt 1$):

$$\dfrac{2x^{2}+12}{x^{2}-x+12}\geqslant \dfrac{2x-1}{x}.$$

Перенесём всё влево, общий знаменатель $x(x^{2}-x+12)$. После раскрытия скобок числитель упрощается до $3x^{2}-13x+12=(3x-4)(x-3)$:

$$\dfrac{(3x-4)(x-3)}{x(x^{2}-x+12)}\geqslant 0.$$

Множитель $x^{2}-x+12\gt 0$ убираем. Остаётся $\dfrac{(3x-4)(x-3)}{x}\geqslant 0$. Нули $x=\dfrac43$, $x=3$ входят, точка $x=0$ выколота.

Решая это и пересекая с ОДЗ ($x\lt 0$ или $x\gt \tfrac12$), получаем $\left(\dfrac12;\dfrac43\right]\cup[3;+\infty)$.