Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043733

Справа единица, слева дробь. Сравнивать дробь с единицей неудобно — перенесём единицу влево и получим «дробь меньше или равна нулю».

ОДЗ. Логарифм от $x^4$ существует при $x\neq0$; знаменатель не ноль: $x\neq\pm10$.

Перенос единицы.

$$\dfrac{\log^2_{0{,}5}(x^4)-x^2}{100-x^2}-1\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{\log^2_{0{,}5}(x^4)-x^2-100+x^2}{100-x^2}\le0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{\log^2_{0{,}5}(x^4)-100}{100-x^2}\le0.$$

Упростим логарифм. $x^4=|x|^4$, а $|x|\gt0$, поэтому $\log_{0{,}5}(x^4)=4\log_{0{,}5}|x|=-4\log_2|x|$. Квадрат: $16\log_2^2|x|$. Числитель:

$$16\log_2^2|x|-100=16\left(\log_2^2|x|-\dfrac{25}{4}\right).$$

Знаменатель $100-x^2=-(x^2-100)$. Умножим неравенство на $-\dfrac{1}{16}$ — знак перевернётся:

$$\dfrac{\log_2^2|x|-\dfrac{25}{4}}{x^2-100}\ge0.$$

Работаем с $r=|x|\gt0$. Числитель равен нулю, когда $\log_2 r=\pm\dfrac52$, то есть $r=2^{2{,}5}=4\sqrt2$ или $r=2^{-2{,}5}=\dfrac{1}{4\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{8}$. Числитель отрицателен, когда $-\dfrac52\lt\log_2 r\lt\dfrac52$, то есть при $\dfrac{\sqrt2}{8}\lt r\lt4\sqrt2$, и положителен вне этого промежутка.

Знаменатель $r^2-100$ отрицателен при $r\lt10$ и положителен при $r\gt10$.

Порядок точек: $\dfrac{\sqrt2}{8}\approx0{,}18$, $4\sqrt2\approx5{,}66$, $10$. Знаки дроби по $r$:

$0\lt r\lt\dfrac{\sqrt2}{8}$: числитель $+$, знаменатель $-$, дробь отрицательна — не подходит.

$\dfrac{\sqrt2}{8}\le r\le4\sqrt2$: числитель $\le0$, знаменатель $-$, дробь $\ge0$ — подходит (на концах дробь равна нулю).

$4\sqrt2\lt r\lt10$: числитель $+$, знаменатель $-$ — не подходит.

$r\gt10$: оба положительны — подходит.

Переходим к $x$. $r=|x|$, поэтому каждый промежуток для $r$ даёт два симметричных промежутка для $x$.

Получаем $(-\infty;-10)\cup\left[-4\sqrt2;-\dfrac{\sqrt2}{8}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt2}{8};4\sqrt2\right]\cup(10;+\infty)$.

Проверим себя на $x=1$: $\log_{0{,}5}1=0$, дробь $\dfrac{0-1}{100-1}=-\dfrac{1}{99}\le1$ — верно. На $x=8$: $\log_{0{,}5}8^4=-12$, дробь $\dfrac{144-64}{100-64}=\dfrac{80}{36}\gt1$ — не подходит, и $8$ действительно лежит между $4\sqrt2$ и $10$.