Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042144

Перед нами дробь из двух логарифмов, и её надо сравнить с нулём. Значит, нас интересуют только знаки числителя и знаменателя. Сначала упростим аргумент в знаменателе.

Выражение $x^3-9x^2+27x-27$ — это куб разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ при $a=x$, $b=3$ даёт $x^3-9x^2+27x-27$. Значит,

$$x^3-9x^2+27x-27=(x-3)^3.$$

Область допустимых значений:

аргумент числителя положителен: $15-x\gt 0$, то есть $x\lt 15$;

аргумент знаменателя положителен: $(x-3)^3\gt 0$, то есть $x\gt 3$;

знаменатель не равен нулю: $\log_3(x-3)^3\neq 0$, то есть $(x-3)^3\neq 1$, откуда $x-3\neq 1$, $x\neq 4$.

Итак, $3\lt x\lt 15$, $x\neq 4$.

Так как $x-3\gt 0$, по свойству логарифма степени $\log_3(x-3)^3=3\log_3(x-3)$. Положительный множитель $3$ знак дроби не меняет, поэтому неравенство равносильно такому:

$$\dfrac{\log_3(15-x)}{\log_3(x-3)}\geq 0.$$

Теперь заменим логарифмы на выражения того же знака. Основание $3$ больше единицы, функция $\log_3 a$ возрастает и равна нулю при $a=1$. Поэтому $\log_3 a$ положителен при $a\gt 1$ и отрицателен при $0\lt a\lt 1$ — то есть имеет тот же знак, что и $a-1$.

Знак $\log_3(15-x)$ совпадает со знаком $15-x-1=14-x$, знак $\log_3(x-3)$ — со знаком $x-3-1=x-4$. На области допустимых значений получаем

$$\dfrac{14-x}{x-4}\geq 0.$$

Метод интервалов: числитель равен нулю при $x=14$, знаменатель — при $x=4$. При $4\lt x\lt 14$ оба выражения положительны, дробь положительна; при $x=14$ дробь равна нулю и подходит (знак нестрогий); правее $14$ и левее $4$ числитель и знаменатель разных знаков — дробь отрицательна.

Решение: $4\lt x\leq 14$. Оно целиком лежит в области допустимых значений $3\lt x\lt 15$.

Проверим себя. При $x=10$: $\log_3 5\gt 0$ и $\log_3 7^3\gt 0$ — дробь положительна, подходит. При $x=3{,}5$: $\log_3 11{,}5\gt 0$, а $\log_3 0{,}125\lt 0$ — дробь отрицательна, не подходит. При $x=14$ числитель $\log_3 1=0$, знаменатель $\log_3 1331\neq 0$ — дробь равна нулю, подходит.