Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00042145

Нужно понять, когда дробь из двух логарифмов неотрицательна. Для этого достаточно знать знаки числителя и знаменателя.

Аргумент в знаменателе — куб разности: по формуле $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ при $a=x$, $b=1$ получаем

$$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3.$$

Область допустимых значений:

$x+6\gt 0$, то есть $x\gt -6$;

$(x-1)^3\gt 0$, то есть $x\gt 1$;

знаменатель не равен нулю: $(x-1)^3\neq 1$, то есть $x-1\neq 1$, $x\neq 2$.

Итак, $x\gt 1$, $x\neq 2$.

Посмотрим на числитель. При $x\gt 1$ аргумент $x+6\gt 7$, то есть больше единицы. Основание $3$ больше единицы, поэтому логарифм числа, большего единицы, положителен: $\log_3(x+6)\gt 0$ на всей области допустимых значений.

Значит, числитель в ноль не обращается и всегда положителен, а вся дробь неотрицательна ровно тогда, когда положителен знаменатель:

$$\log_3(x-1)^3\gt 0.$$

По свойству логарифма степени (при $x-1\gt 0$) это $3\log_3(x-1)\gt 0$, то есть $\log_3(x-1)\gt 0=\log_3 1$. Функция $\log_3$ возрастает, поэтому $x-1\gt 1$, $x\gt 2$.

Решение $x\gt 2$ лежит в области допустимых значений.

Проверим другим способом — заменой знаков. Знак $\log_3(x+6)$ совпадает со знаком $x+6-1=x+5$, знак $\log_3(x-1)$ — со знаком $x-2$. Неравенство $\dfrac{x+5}{x-2}\geq 0$ даёт $x\leq -5$ или $x\gt 2$; с условием $x\gt 1$ остаётся $x\gt 2$ — то же самое.

И числом: при $x=1{,}5$ знаменатель $\log_3 0{,}125\lt 0$, дробь отрицательна — точка не подходит; при $x=10$ оба логарифма положительны — подходит.