Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041801

Неравенство выглядит громоздко, но обе «страшные» части выражаются через одну величину — $\log_2 x$. Обозначим её буквой и получим квадратное неравенство.

Область допустимых значений. Выражение $\log_2(\log_2 x)$ определено, когда $x\gt 0$ и $\log_2 x\gt 0$. Второе означает $x\gt 2^{0}=1$. Итак, $x\gt 1$.

Введём $t=\log_2 x$; при $x\gt 1$ имеем $t\gt 0$.

Первое слагаемое. $2^{\log_2(\log_2 x)}=2^{\log_2 t}=t$ по основному логарифмическому тождеству (оно работает, потому что $t\gt 0$).

Второе слагаемое. Основание $4=2^{2}$, поэтому $\log_4 x=\dfrac{\log_2 x}{2}=\dfrac{t}{2}$, а квадрат этого логарифма равен $\dfrac{t^{2}}{4}$.

Неравенство принимает вид

$$t+\dfrac{t^{2}}{4}-3\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}+4t-12\le 0.$$

Корни трёхчлена $t^{2}+4t-12$: $D=16+48=64$, $t=\dfrac{-4\pm 8}{2}$, то есть $t=-6$ и $t=2$. Получаем $(t+6)(t-2)\le 0$, $-6\le t\le 2$.

Множитель $t+6$ при $t\gt 0$ заведомо положителен, поэтому вместе с ограничением остаётся $0\lt t\le 2$.

Возвращаемся к $x$: $0\lt\log_2 x\le 2$. Основание $2\gt 1$, функция возрастает, знаки сохраняются: $1\lt x\le 4$.

Итак, решения неравенства — промежуток $(1;4]$.

Проверим себя при $x=4$: $\log_2 4=2$, первое слагаемое $2$, $\log_4 4=1$, его квадрат $1$, сумма $2+1-3=0$ — граница входит. При $x=2$: $1+\dfrac14-3\lt 0$ — верно.