Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041796

В неравенстве степень тройки с «двухэтажным» логарифмом в показателе и квадрат логарифма по основанию $9$. Всё сводится к одной величине $\log_3 x$ — нужно только аккуратно выписать область допустимых значений.

Область допустимых значений. Внутренний логарифм $\log_3 x$ требует $x\gt 0$. Внешний логарифм $\log_3(\log_3 x)$ требует, чтобы его аргумент был положителен: $\log_3 x\gt 0$, то есть $x\gt 1$. Второе условие сильнее первого, итого $x\gt 1$. Логарифм $\log_9 x$ при этом тоже определён.

Первое слагаемое. По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3 a}=a$ при $a\gt 0$. Здесь $a=\log_3 x\gt 0$, поэтому

$$3^{\log_3(\log_3 x)}=\log_3 x.$$

Второе слагаемое. Так как $9=3^{2}$, то $\log_9 x=\dfrac12\log_3 x$, и $\log_9^{2}x=\left(\dfrac12\log_3 x\right)^{2}=\dfrac14\log_3^{2}x$. Здесь $\log_9^{2}x$ — квадрат логарифма, а не логарифм квадрата.

Обозначим $t=\log_3 x$, по ОДЗ $t\gt 0$. Неравенство становится квадратным:

$$t+\dfrac{t^{2}}{4}-8\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}+4t-32\le 0.$$

Корни трёхчлена: $D=16+128=144$, $t=\dfrac{-4\pm 12}{2}$, то есть $t=-8$ и $t=4$. Значит $(t+8)(t-4)\le 0$, откуда $-8\le t\le 4$.

С учётом $t\gt 0$ получаем $0\lt t\le 4$, то есть $0\lt\log_3 x\le 4$. Логарифм по основанию $3\gt 1$ возрастает, поэтому $1\lt x\le 3^{4}=81$.

Итак, решения неравенства — промежуток $(1;81]$.

Проверим себя при $x=81$: $\log_3 81=4$, первое слагаемое равно $4$, $\log_9 81=2$, его квадрат $4$; сумма $4+4-8=0$ — граница входит. При $x=9$: $2+1-8=-5\le 0$ — тоже верно.