Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043734

Дробь сравнивается с единицей. Перенесём единицу влево, чтобы сравнивать с нулём, — так можно будет расставить знаки.

ОДЗ. $|x|\gt0$, то есть $x\neq0$; знаменатель не ноль: $x\neq\pm3$.

Перенос.

$$\dfrac{x^2-\log^2_{\sqrt3}|x|}{x^2-9}-1\ge0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{x^2-\log^2_{\sqrt3}|x|-x^2+9}{x^2-9}\ge0\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{9-\log^2_{\sqrt3}|x|}{x^2-9}\ge0.$$

Логарифм. $\sqrt3=3^{\frac12}$, поэтому $\log_{\sqrt3}|x|=\dfrac{\log_3|x|}{1/2}=2\log_3|x|$, а его квадрат $4\log_3^2|x|$.

Числитель: $9-4\log_3^2|x|$. Он неотрицателен, когда $\log_3^2|x|\le\dfrac94$, то есть $-\dfrac32\le\log_3|x|\le\dfrac32$:

$$3^{-1{,}5}\le|x|\le3^{1{,}5},\qquad\text{где } 3^{1{,}5}=3\sqrt3,\quad 3^{-1{,}5}=\dfrac{1}{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{9}.$$

Вне этого промежутка числитель отрицателен.

Знаменатель $x^2-9$ отрицателен при $|x|\lt3$ и положителен при $|x|\gt3$.

Метод интервалов по $r=|x|$. Точки: $\dfrac{\sqrt3}{9}\approx0{,}19$, $3$, $3\sqrt3\approx5{,}2$.

$0\lt r\lt\dfrac{\sqrt3}{9}$: числитель $-$, знаменатель $-$, дробь положительна — подходит.

$r=\dfrac{\sqrt3}{9}$: числитель $0$ — подходит.

$\dfrac{\sqrt3}{9}\lt r\lt3$: числитель $+$, знаменатель $-$ — не подходит.

$3\lt r\le3\sqrt3$: числитель $\ge0$, знаменатель $+$ — подходит.

$r\gt3\sqrt3$: числитель $-$, знаменатель $+$ — не подходит.

Итак, $0\lt|x|\le\dfrac{\sqrt3}{9}$ или $3\lt|x|\le3\sqrt3$. Раскрываем модуль — получаем по два симметричных промежутка.

Получаем $[-3\sqrt3;-3)\cup\left[-\dfrac{\sqrt3}{9};0\right)\cup\left(0;\dfrac{\sqrt3}{9}\right]\cup(3;3\sqrt3]$.

Проверим себя на $x=0{,}1$: $\log_{\sqrt3}0{,}1\approx-4{,}19$, квадрат $\approx17{,}6$; дробь $\dfrac{0{,}01-17{,}6}{0{,}01-9}\approx1{,}96\ge1$ — верно. На $x=1$: дробь $\dfrac{1-0}{1-9}\lt0$ — не подходит, и $1$ в ответ не входит.