Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 4 16x в степени 4 плюс 11, знаменатель: log по основанию 4 в квадрате x минус 9 конец дроби больше или равно -1

левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 64 конец дроби правая круглая скобка левая { дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая } (64 ; + бесконечность )

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство дробь: числитель: log по основанию 4 16x в…

№2. Задание 15

ID: 00013715

Решите неравенство

$\dfrac{\log_{4}16x^{4}+11}{\log_{4}^{2}x - 9}$ $\geq$ -1

Решение

Дробное неравенство относительно $u=\log_4 x$ .

Область определения: $x\gt 0$ . Используем $\log_4(16x^{4})=2+4u$ , поэтому числитель равен $4u+13$ , а знаменатель $u^{2}-9$ .

Перенесём $-1$ влево:

$\dfrac{4u+13}{u^{2}-9}+1\geqslant 0,\qquad \dfrac{u^{2}+4u+4}{u^{2}-9}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(u+2)^{2}}{(u-3)(u+3)}\geqslant 0.$

Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=-2$ ). Дробь неотрицательна при $u\lt -3$ , при $u\gt 3$ и в точке $u=-2$ .

Возвращаемся к $x$ : $u\lt -3$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{64}$ ; $u=-2$ даёт $x=\dfrac1{16}$ ; $u\gt 3$ даёт $x\gt 64$ .

Ответ

$\left( 0;\dfrac{1}{64}\right)$ $\bigcup$ $\left\{ \dfrac{1}{16}\right\}$ $\bigcup$ (64 ; + $\infty$ )