ID: 00013715
Решите неравенство
$\dfrac{\log_{4}16x^{4}+11}{\log_{4}^{2}x - 9}$ $\geq$ -1
Источник: ФИПИ
Дробное неравенство относительно $u=\log_4 x$.
Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_4(16x^{4})=2+4u$, поэтому числитель равен $4u+13$, а знаменатель $u^{2}-9$.
Перенесём $-1$ влево:
$$\dfrac{4u+13}{u^{2}-9}+1\geqslant 0,\qquad \dfrac{u^{2}+4u+4}{u^{2}-9}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(u+2)^{2}}{(u-3)(u+3)}\geqslant 0.$$
Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=-2$). Дробь неотрицательна при $u\lt -3$, при $u\gt 3$ и в точке $u=-2$.
Возвращаемся к $x$: $u\lt -3$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{64}$; $u=-2$ даёт $x=\dfrac1{16}$; $u\gt 3$ даёт $x\gt 64$.
$\left( 0;\dfrac{1}{64}\right)$ $\bigcup$ $\left\{ \dfrac{1}{16}\right\}$ $\bigcup$ (64 ; + $\infty$)