Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003405

Слева сумма дроби и обратной к ней относительно $u=\log_3 x$.

Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_3(81x)=4+u$ и $\log_3 x^{8}=8u$.

Приведём левую часть к знаменателю $(u-4)(u+4)$: числитель $(4+u)^{2}+(u-4)^{2}=2u^{2}+32$. Неравенство:

$$\dfrac{2u^{2}+32}{(u-4)(u+4)}\geqslant\dfrac{24-8u}{(u-4)(u+4)}.$$

Перенесём правую дробь влево: $2u^{2}+32-24+8u=2u^{2}+8u+8=2(u+2)^{2}$:

$$\dfrac{(u+2)^{2}}{(u-4)(u+4)}\geqslant 0.$$

Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=-2$); дробь $\geqslant 0$ при $u\lt -4$, при $u\gt 4$ и в точке $u=-2$.

Возвращаемся к $x$: $u\lt -4$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{81}$; $u=-2$ даёт $x=\dfrac19$; $u\gt 4$ даёт $x\gt 81$.