ID: 00003405
Решите неравенство: $\quad \dfrac{\log_3(81x)}{\log_3 x - 4} + \dfrac{\log_3 x - 4}{\log_3(81x)} \ge \dfrac{24 - \log_3 x^8}{\log_3^2 x - 16}$
Источник: ФИПИ
Слева сумма дроби и обратной к ней относительно $u=\log_3 x$.
Область определения: $x\gt 0$. Используем $\log_3(81x)=4+u$ и $\log_3 x^{8}=8u$.
Приведём левую часть к знаменателю $(u-4)(u+4)$: числитель $(4+u)^{2}+(u-4)^{2}=2u^{2}+32$. Неравенство:
$$\dfrac{2u^{2}+32}{(u-4)(u+4)}\geqslant\dfrac{24-8u}{(u-4)(u+4)}.$$
Перенесём правую дробь влево: $2u^{2}+32-24+8u=2u^{2}+8u+8=2(u+2)^{2}$:
$$\dfrac{(u+2)^{2}}{(u-4)(u+4)}\geqslant 0.$$
Числитель $\geqslant 0$ (ноль при $u=-2$); дробь $\geqslant 0$ при $u\lt -4$, при $u\gt 4$ и в точке $u=-2$.
Возвращаемся к $x$: $u\lt -4$ даёт $0\lt x\lt\dfrac1{81}$; $u=-2$ даёт $x=\dfrac19$; $u\gt 4$ даёт $x\gt 81$.
$(0; \dfrac{1}{81})$ U ${\dfrac{1}{9}}$ U $(81; +∞)$