ID: 00003373
Решите неравенство $1 + \dfrac{5}{\log_4 x - 3} + \dfrac{6}{\log_4^2 x - \log_4(64x^6) + 12} \ge 0$
Источник: ФИПИ
В неравенстве несколько раз встречается $\log_4 x$ — это подсказка ввести замену. А громоздкий знаменатель красиво свернётся в полный квадрат.
Область определения: под логарифмом $x$, поэтому $x\gt 0$. Обозначим $u=\log_4 x$. Заметим, что $\log_4(64x^{6})=\log_4 64+\log_4 x^{6}=3+6u$. Тогда знаменатель $\log_4^{2}x-\log_4(64x^{6})+12=u^{2}-(3+6u)+12=u^{2}-6u+9=(u-3)^{2}$.
Сделаем ещё одну замену $v=u-3$, чтобы знаменатель стал просто $v^{2}$. Неравенство приобретает вид:
$$1+\dfrac{5}{v}+\dfrac{6}{v^{2}}\geqslant 0.$$
Приведём к общему знаменателю $v^{2}$: $\dfrac{v^{2}+5v+6}{v^{2}}\geqslant 0$, а числитель раскладывается: $\dfrac{(v+2)(v+3)}{v^{2}}\geqslant 0$.
Знаменатель $v^{2}\gt 0$ (кроме $v=0$, где дроби нет), поэтому знак определяет числитель: $(v+2)(v+3)\geqslant 0$, откуда $v\leqslant -3$ или $v\geqslant -2$ (и $v\ne 0$).
Возвращаемся: $v=\log_4 x-3$. Из $v\leqslant -3$ выходит $\log_4 x\leqslant 0$, то есть $0\lt x\leqslant 1$. Из $v\geqslant -2$ выходит $\log_4 x\geqslant 1$, то есть $x\geqslant 4$; а условие $v\ne 0$ (то есть $u\ne 3$) выкалывает точку $x=64$. Итог: $(0;1]\cup[4;64)\cup(64;+\infty)$.
$x \in (0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; +\infty)$