ID: 00003371
Решите неравенство $\log_5 \left( \dfrac{2}{x} + 2 \right) - \log_5(x + 3) < \log_5 \left( \dfrac{x + 6}{x^2} \right)$.
Источник: ФИПИ
Слева — разность логарифмов с основанием $5$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Знак неравенства строгий ($\lt$) — запомним это, в конце от этого зависят границы.
Область определения: $\dfrac2x+2\gt 0$ (это $x\gt 0$ или $x\lt -1$), $x+3\gt 0$ и $\dfrac{x+6}{x^{2}}\gt 0$ (это $x\gt -6$, $x\ne 0$). Пересечение: $x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty)$.
Сворачиваем левую часть: $\log_5\dfrac{\frac2x+2}{x+3}=\log_5\dfrac{2+2x}{x(x+3)}$. Основание $5\gt 1$, переходим к строгому сравнению аргументов:
$$\dfrac{2+2x}{x(x+3)}\lt \dfrac{x+6}{x^{2}}.$$
Переносим всё влево, общий знаменатель $x^{2}(x+3)$. В числителе получается $x(2+2x)-(x+6)(x+3)=2x^{2}+2x-(x^{2}+9x+18)=x^{2}-7x-18=(x-9)(x+2)$:
$$\dfrac{(x-9)(x+2)}{x^{2}(x+3)}\lt 0.$$
Множитель $x^{2}\gt 0$ на знак не влияет — убираем. Решаем $\dfrac{(x-9)(x+2)}{x+3}\lt 0$. Так как неравенство строгое, нули числителя $x=-2$ и $x=9$ (там дробь равна нулю, а нам нужно строго меньше) в ответ НЕ входят.
В пределах области определения это даёт $x\in(-2;-1)\cup(0;9)$.
$x \in (-2; -1) \cup (0; 9)$