Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003371

Слева — разность логарифмов с основанием $5$. Свернём её в один логарифм и сравним аргументы. Знак неравенства строгий ($\lt$) — запомним это, в конце от этого зависят границы.

Область определения: $\dfrac2x+2\gt 0$ (это $x\gt 0$ или $x\lt -1$), $x+3\gt 0$ и $\dfrac{x+6}{x^{2}}\gt 0$ (это $x\gt -6$, $x\ne 0$). Пересечение: $x\in(-3;-1)\cup(0;+\infty)$.

Сворачиваем левую часть: $\log_5\dfrac{\frac2x+2}{x+3}=\log_5\dfrac{2+2x}{x(x+3)}$. Основание $5\gt 1$, переходим к строгому сравнению аргументов:

$$\dfrac{2+2x}{x(x+3)}\lt \dfrac{x+6}{x^{2}}.$$

Переносим всё влево, общий знаменатель $x^{2}(x+3)$. В числителе получается $x(2+2x)-(x+6)(x+3)=2x^{2}+2x-(x^{2}+9x+18)=x^{2}-7x-18=(x-9)(x+2)$:

$$\dfrac{(x-9)(x+2)}{x^{2}(x+3)}\lt 0.$$

Множитель $x^{2}\gt 0$ на знак не влияет — убираем. Решаем $\dfrac{(x-9)(x+2)}{x+3}\lt 0$. Так как неравенство строгое, нули числителя $x=-2$ и $x=9$ (там дробь равна нулю, а нам нужно строго меньше) в ответ НЕ входят.

В пределах области определения это даёт $x\in(-2;-1)\cup(0;9)$.