Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00003368

Дробное неравенство относительно $u=\log_3 x$; знаменатель второй дроби красиво сворачивается в полный квадрат.

Область определения: $x\gt 0$. Заметим, что $\log_3(27x^{6})=3+6u$, поэтому $\log_3^{2}x-\log_3(27x^{6})+12=u^{2}-6u+9=(u-3)^{2}$.

Сделаем замену $v=u-3$. Неравенство принимает вид:

$$1+\dfrac{6}{v}+\dfrac{5}{v^{2}}\geqslant 0,\qquad \dfrac{v^{2}+6v+5}{v^{2}}\geqslant 0,\qquad \dfrac{(v+1)(v+5)}{v^{2}}\geqslant 0.$$

Так как $v^{2}\gt 0$, знак определяет $(v+1)(v+5)\geqslant 0$, откуда $v\leqslant -5$ или $v\geqslant -1$ (и $v\ne 0$).

Возвращаемся: $v=\log_3 x-3$. Из $v\leqslant -5$ получаем $\log_3 x\leqslant -2$, то есть $0\lt x\leqslant\dfrac19$. Из $v\geqslant -1$ получаем $\log_3 x\geqslant 2$, то есть $x\geqslant 9$; условие $v\ne 0$ убирает $x=27$.