Арифметическая и геометрическая прогрессии в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Прогрессии в ОГЭ по математике — это задание 14: ряд чисел, где каждое следующее получается из предыдущего прибавлением или умножением на одно и то же число. Сюжет почти всегда жизненный: в проекте демоверсии 2027 масса изотопа уменьшается вдвое каждые 8 минут.

Суть простыми словами

Арифметическая прогрессия: к каждому члену прибавляют одно и то же число d. Формулы: aₙ = a₁ + d(n − 1) и Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2. Пример: a₁ = 5, d = 3. Тогда a₁₀ = 5 + 27 = 32, а сумма десяти членов (5 + 32)·10/2 = 185.

Геометрическая прогрессия: каждый член умножают на одно и то же число q. Формула: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Пример: b₁ = 2, q = 3. Члены 2, 6, 18, 54, так что b₄ = 2·3³ = 54.

Как отличить: слова «на столько-то больше» значат арифметическую, «в столько-то раз» геометрическую.

Формула сложных процентов — родственник геометрической прогрессии: вклад растёт в одно и то же число раз каждый период. При 10 % годовых 1000 рублей через два года превратятся в 1000·1,1² = 1210.

Задача из демо целиком: в начале 200 мг, масса уменьшается вдвое каждые 8 минут, найти массу через 32 минуты. За 32 минуты проходит 32 : 8 = 4 периода, значит, массу делят на 2 четыре раза: 200 : 2⁴ = 200 : 16 = 12,5 мг. На языке формулы это b₅ = 200·(½)⁴: начальная масса — первый член, а через четыре периода получается пятый.

Где встречается на экзамене

Где ошибаются

1. Делят на число периодов. В демо за 32 минуты четыре раза по 8 минут, и 200 мг делят на 2⁴ = 16, а не на 4. Ответ 12,5 мг, а не 50.
2. Путают номер члена и число шагов. От первого члена до десятого девять шагов, поэтому a₁₀ = a₁ + 9d, а в bₙ = b₁·qⁿ⁻¹ показатель на 1 меньше номера.
3. Вычитают вместо деления. «Вдвое меньше» — это умножение на ½. Если отнимать каждый раз по 100 мг, выйдет арифметическая прогрессия и совсем другой ответ.
4. Теряют знак при отрицательном q. При b₁ = 3 и q = −2 члены идут 3, −6, 12, −24: знаки чередуются, и b₄ = 3·(−2)³ = −24.
5. Смешивают простые и сложные проценты. При сложных каждый период процент считают от уже выросшей суммы: 1000 → 1100 → 1210, а не 1000 → 1100 → 1200.

Шпаргалка за 30 секунд

Формулы n-го члена и суммы обеих прогрессий напечатаны в справочных материалах к варианту ОГЭ. Контроль — выписать вручную первые 3–4 члена.

Закрой решение выше и пересчитай задачу про изотоп сам, а затем открой разбор 14 задание ОГЭ математика и задачи банка к нему: там та же пара формул в других сюжетах. Способы задавать последовательности (формулой n-го члена или через предыдущий член) — в теме Последовательности ОГЭ. Если формулы двух прогрессий путаются между собой, их можно развести на пробном занятии.