Теория вероятностей в ЕГЭ по математике профильного уровня — это три задания подряд: 4 (простая вероятность), 5 (сложные события) и новое для 2027 года задание 6 про математическое ожидание. В базовом ЕГЭ теме отведено задание 5.
Суть простыми словами
Вероятность события — это доля подходящих исходов: P = m/n, где m — нужные исходы, n — все. Пример: в коробке 3 красных и 5 синих шаров, вероятность вынуть красный 3/8 = 0,375.
Противоположное событие: P(не A) = 1 − P(A). Для «хотя бы один» часто проще посчитать «ни одного» и вычесть из единицы.
Независимые события перемножают: два раза подряд выпал орёл — 0,5·0,5 = 0,25. Несовместные складывают: выпало 1 или 2 на кубике — 1/6 + 1/6 = 1/3.
Полная вероятность: P(A) = Σ P(гипотеза)·P(A | гипотеза). Нарисуй дерево, вдоль ветки числа перемножай, подходящие ветки складывай.
Новое в 2027 году — математическое ожидание E(X) = Σ xᵢ·pᵢ. Пример: выигрыш 10 рублей с вероятностью 0,2, иначе 0; E = 10·0,2 = 2 рубля. Дисперсия D = E(X²) − (E(X))²; здесь E(X²) = 100·0,2 = 20, D = 20 − 4 = 16.
В задании 6 из проекта демоверсии 2027 лотерея: 10 000 билетов, выигрыши 100, 1000, 5000, 10 000 и 50 000 рублей у 500, 100, 50, 10 и 1 билета. Сумма всех выигрышей 550 000 рублей, делим на все 10 000 билетов: E = 55 рублей.
Где встречается на экзамене
4 задание ЕГЭ профиль
- Что там про вероятность
- Простая вероятность: доля подходящих исходов, противоположное событие
5 задание ЕГЭ профиль
- Что там про вероятность
- Сложные события: умножение и сложение вероятностей, полная вероятность
6 задание ЕГЭ профиль
- Что там про вероятность
- Новое в 2027: случайная величина, математическое ожидание и дисперсия
5 задание ЕГЭ база
- Что там про вероятность
- Базовый ЕГЭ: вероятность в простейшем случае, ответ десятичной дробью
Задания 4 и 5 остались на своих местах, а из-за нового шестого номера 6–11 прошлого года стали 7–12.
Где ошибаются
- Отвечают на противоположный вопрос. В задании 4 демо тема «Углеводороды» есть в 56 билетах из 80, а спрашивают, что она не достанется: 1 − 56/80 = 0,3, а не 0,7.
- Подставляют 0,9 там, где нужен промах. В задании 5 демо стрелок попадает с вероятностью 0,9 и должен попасть в две первые мишени и промахнуться в две последние: 0,9·0,9·0,1·0,1 = 0,0081.
- Теряют ветку в полной вероятности. Там же батарейка неисправна с вероятностью 0,2, и система бракует её с вероятностью 0,95, а исправную по ошибке — с вероятностью 0,05. Забракуют с вероятностью 0,2·0,95 + 0,8·0,05 = 0,23; без второй ветки выходит неверное 0,19.
- Делят на выигрышные билеты. В лотерее из задания 6 сумму 550 000 делят на все 10 000 билетов, а не на 661 выигрышный: пустые билеты дают нуль в сумме, но входят в число исходов.
Шпаргалка за 30 секунд
- Выпиши, что считается подходящим исходом и сколько всего исходов.
- Увидел «не» или «хотя бы» — посчитай противоположное событие и вычти из 1.
- Несколько этапов — нарисуй дерево: вдоль ветки умножай, ветки складывай.
- Случайная величина: таблица значений и вероятностей, E = Σ xᵢ·pᵢ; вероятности в сумме дают 1.
- Проверка: вероятность не больше 1; в бланк идёт десятичная дробь.
Закрой ловушки и перерешай три задачи демо: ответы 0,3, 0,0081 и 0,23 должны выйти без подсказки. Затем открой 4 задание ЕГЭ профиль и 5 задание ЕГЭ профиль, а для нового номера — 6 задание ЕГЭ профиль и тему Статистика ЕГЭ профиль: среднее там и ожидание здесь считаются похоже. Дерево с двумя гипотезами можно нарисовать вместе на пробном занятии.