Global EE

L/C контур — Задание 15 ЕГЭ по физике №00048490

Задание №15. Электродинамика. Установление Соответствия

L/C контур

№2. Задание 15

ID: 00048490

Зависимость силы тока от времени в идеальном колебательном контуре описывается выражением $I(t)=I_{\max}\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$, где $T$ — период колебаний. В момент $\tau_1$ энергия катушки с током равна энергии конденсатора: $W_L=W_C$, а сила тока в контуре равна $I$.

Рисунок к заданию 15 ЕГЭ по физике — L/C контур

Каковы заряд конденсатора в момент времени $\tau_2=\dfrac{5T}{8}$ и амплитуда заряда конденсатора?

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, при помощи которых их можно вычислить. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

А) заряд конденсатора в момент $\tau_2=\dfrac58T$

Б) амплитуда заряда конденсатора

ФОРМУЛЫ

1) $\dfrac{IT\sqrt2}{2\pi}$

2) $\dfrac{IT}{\sqrt2}$

3) $\dfrac{IT}{2\pi\sqrt2}$

4) $\dfrac{IT}{2\pi}$

А

Б

 

 

 

 

Источник: Сборник Демидовой 2019

Решение

В идеальном контуре энергия перетекает из конденсатора в катушку и обратно, а их сумма всё время постоянна. Условие про момент $\tau_1$ позволяет связать данный ток $I$ с амплитудой тока, а дальше найдём амплитуду заряда и заряд в нужный момент.

Б) Амплитуда заряда. Полная энергия контура равна наибольшей энергии катушки $\dfrac{LI_{\max}^2}{2}$. В момент $\tau_1$ энергии катушки и конденсатора равны, значит, каждая из них — половина полной:

$$\dfrac{LI^2}{2}=\dfrac12\cdot\dfrac{LI_{\max}^2}{2}\quad\Rightarrow\quad I_{\max}^2=2I^2,\qquad I_{\max}=I\sqrt2.$$

Ток — это скорость изменения заряда. При гармонических колебаниях с циклической частотой $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ амплитуды тока и заряда связаны так: $I_{\max}=\omega q_{\max}$. Отсюда

$$q_{\max}=\dfrac{I_{\max}}{\omega}=\dfrac{I\sqrt2\cdot T}{2\pi}=\dfrac{IT\sqrt2}{2\pi}.$$

Это формула $1$.

А) Заряд в момент $\tau_2$. Ток меняется по синусу и при $t=0$ равен нулю — значит, в этот момент конденсатор заряжен полностью, и заряд меняется по косинусу: $q(t)=q_{\max}\cos\dfrac{2\pi t}{T}$ (знак зависит лишь от того, какую обкладку считать положительной). В момент $\tau_2=\dfrac58T$ фаза равна

$$\dfrac{2\pi}{T}\cdot\dfrac{5T}{8}=\dfrac{5\pi}{4},\qquad\left|\cos\dfrac{5\pi}{4}\right|=\dfrac{\sqrt2}{2}.$$

Модуль заряда:

$$|q|=q_{\max}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{IT\sqrt2}{2\pi}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{IT}{2\pi}.$$

Это формула $4$.

Проверим себя. При фазе $\dfrac{5\pi}{4}$ модули синуса и косинуса равны, поэтому в момент $\tau_2$ энергии катушки и конденсатора одинаковы — так же, как в момент $\tau_1$. Значит, заряд должен быть в $\sqrt2$ раз меньше амплитуды: $\dfrac{IT\sqrt2}{2\pi}:\sqrt2=\dfrac{IT}{2\pi}$ — сходится.

Ответ

41
Другие задания по теме «L/C контур» (8)