МКТ (нет в 2026) — Задание ЕГЭ по физике №00048440

Что тут происходит. Вода из длинной открытой трубы по трубочке у дна заходит в маленький закрытый сосуд. Воздуху из сосуда деваться некуда, вода его сжимает, и чем сильнее он сжат, тем сильнее он давит на воду. Поэтому вода в трубе всё время стоит выше, чем в сосуде, и разница растёт. Найдём, как $h_1$ зависит от $h_2$.

Шаг 1 — газовый закон для запертого воздуха. В момент, когда вода перекрыла трубочку, в сосуде заперт воздух при давлении $p_0$, занимающий всю высоту $h_0$. Масса его постоянна, а температура тоже: воду наливают медленно, и она той же температуры. Значит, по закону Бойля — Мариотта произведение давления на объём не меняется. Объём — это площадь дна на высоту воздушного столба над водой $h_0-h_2$, площадь сокращается:

$$p=\dfrac{p_0h_0}{h_0-h_2}.$$

Шаг 2 — равновесие воды. В покоящейся воде на одной высоте давление одинаково. На высоте поверхности воды в сосуде справа давит воздух $p$, а слева — атмосфера плюс столб воды высотой $h_1-h_2$ (давление столба жидкости $\rho gh$):

$$p=p_0+\rho g\,(h_1-h_2).$$

Шаг 3 — выражаем $h_1$. Приравниваем правые части и переносим $p_0$:

$$\rho g\,(h_1-h_2)=p_0\Big(\dfrac{h_0}{h_0-h_2}-1\Big)=p_0\,\dfrac{h_2}{h_0-h_2},$$

$$h_1=h_2+\dfrac{p_0}{\rho g}\cdot\dfrac{h_2}{h_0-h_2},\qquad \dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{10^5}{1000\cdot10}=10\text{ м}.$$

Шаг 4 — вид графика $h_1(h_2)$. При $h_2=0$ получаем $h_1=0$ — график начинается в начале координат. В самом начале $h_1\approx h_2+\dfrac{10}{0{,}2}\,h_2=51h_2$: кривая сразу идёт круто вверх. Дальше знаменатель $h_0-h_2$ уменьшается, и каждый следующий сантиметр $h_2$ требует всё больше метров $h_1$: график становится всё круче. При $h_2\to h_0$ знаменатель стремится к нулю, и $h_1$ неограниченно растёт — у графика вертикальная асимптота $h_2=h_0$. Опорные точки: при $h_2=0{,}5h_0$ дробь равна $1$, $h_1\approx10\text{ м}$; при $h_2=0{,}75h_0$ дробь равна $3$, $h_1\approx30\text{ м}$.

Шаг 5 — число. Уровень воды $h_2=0{,}8\cdot20=16\text{ см}$, значит, воздуху осталось $20-16=4\text{ см}$ — он сжат в $\dfrac{20}{4}=5$ раз:

$$\dfrac{h_2}{h_0-h_2}=\dfrac{16}{4}=4,\qquad h_1=0{,}16\text{ м}+10\text{ м}\cdot4\approx40{,}2\text{ м}\approx40\text{ м}.$$

Проверим себя. Воздух сжат в 5 раз, значит, его давление $5p_0=5\cdot10^5\text{ Па}$, избыток над атмосферой $4\cdot10^5\text{ Па}$. Столб воды с таким давлением: $\dfrac{4\cdot10^5}{1000\cdot10}=40\text{ м}$ — сходится. Ответ приближённый ($g=10\text{ м/с}^2$, объём трубочки и водяной пар не учитываем) — недаром в условии труба «очень длинная». Заметь ещё: разность уровней $h_1-h_2=\dfrac{p_0}{\rho g}\cdot\dfrac{h_2}{h_0-h_2}$ пропорциональна $p_0$ — воздух в сосуде сжимают, начиная с атмосферного давления, и избыток его давления составляет долю от $p_0$. В горах, где $p_0$ меньше, тот же уровень $h_2=0{,}8h_0$ получился бы при меньшем $h_1$.