МКТ (нет в 2026) — Задание ЕГЭ по физике №00048439

Что тут происходит. Воду льют в длинную открытую трубу, и по нижней трубочке она перетекает в маленький сосуд справа. Но этот сосуд закрыт сверху: воздух из него уйти не может, и поднимающаяся вода его сжимает. Сжатый воздух давит на воду сильнее атмосферы, поэтому вода справа стоит ниже, чем слева. Нам нужно связать уровни $h_1$ и $h_2$ формулой, нарисовать по ней график и посчитать одну точку.

Шаг 1 — запертый воздух. Как только вода перекрыла вход в сосуд, в нём оказался заперт столб воздуха высотой $h_0$ при давлении $p_0$. Масса этого воздуха дальше не меняется. Воду наливают медленно, и она той же температуры, что и воздух, — значит, температура воздуха постоянна. Для такого изотермического процесса работает закон Бойля — Мариотта $pV=\text{const}$. Объём воздуха равен площади дна сосуда, умноженной на высоту воздушного столба $h_0-h_2$; площадь в обеих частях равенства одна и та же и сокращается:

$$p_0h_0=p\,(h_0-h_2)\quad\Rightarrow\quad p=\dfrac{p_0h_0}{h_0-h_2}.$$

Шаг 2 — равновесие воды. Вода покоится, поэтому в сообщающихся сосудах на одной высоте давление в ней одинаковое, а столб воды высотой $h$ добавляет давление $\rho gh$. Сравним давления на высоте $h_2$ — там, где поверхность воды в правом сосуде. Справа на этой высоте давит сжатый воздух $p$. Слева над этой высотой стоит столб воды $h_1-h_2$, а над ним — атмосфера:

$$p=p_0+\rho g\,(h_1-h_2).$$

Шаг 3 — связь уровней. Приравняем два выражения для $p$ и вычтем из обеих частей $p_0$:

$$\rho g\,(h_1-h_2)=\dfrac{p_0h_0}{h_0-h_2}-p_0=p_0\,\dfrac{h_2}{h_0-h_2}.$$

Отсюда

$$h_1=h_2+\dfrac{p_0}{\rho g}\cdot\dfrac{h_2}{h_0-h_2}.$$

Множитель $\dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{10^5}{1000\cdot10}=10\text{ м}$ — это высота столба воды, который давит так же, как вся атмосфера. Он в $\dfrac{10}{0{,}2}=50$ раз больше высоты сосуда, поэтому почти весь уровень $h_1$ набирает второе слагаемое.

Шаг 4 — вид графика $h_2(h_1)$. Пока воды в сосуде мало, $h_0-h_2\approx h_0$, и $h_1\approx h_2+50h_2=51h_2$: вода справа поднимается примерно в 50 раз медленнее, чем слева, — график выходит из начала координат почти горизонтально. Чем выше $h_2$, тем меньше воздушный столб $h_0-h_2$ и тем больше воды нужно долить слева ради каждого следующего сантиметра справа: кривая растёт всё медленнее. Когда $h_2$ приближается к $h_0$, дробь $\dfrac{h_2}{h_0-h_2}$ неограниченно растёт, а с ней и $h_1$. Значит, график — плавная выпуклая вверх кривая, которая прижимается снизу к горизонтальной прямой $h_2=h_0$, но никогда её не достигает: сжать воздух в ноль нельзя. Для построения пригодятся опорные точки: при $h_2=0{,}5h_0$ дробь равна $1$ и $h_1\approx10\text{ м}$, при $h_2=0{,}75h_0$ дробь равна $3$ и $h_1\approx30\text{ м}$.

Шаг 5 — число. При $h_2=0{,}6h_0=0{,}6\cdot20=12\text{ см}$ над водой в сосуде остаётся воздушный столб $20-12=8\text{ см}$:

$$\dfrac{h_2}{h_0-h_2}=\dfrac{12}{8}=1{,}5,\qquad h_1=0{,}12\text{ м}+10\text{ м}\cdot1{,}5\approx15{,}1\text{ м}\approx15\text{ м}.$$

Проверим себя. Давление воздуха в сосуде $p=\dfrac{20}{8}\,p_0=2{,}5\cdot10^5\text{ Па}$, то есть на $1{,}5\cdot10^5\text{ Па}$ больше атмосферного. Такой избыток держит столб воды высотой $\dfrac{1{,}5\cdot10^5}{1000\cdot10}=15\text{ м}$ — сходится. Ответ приближённый: мы взяли $g=10\text{ м/с}^2$, не учитывали объём трубочки и водяной пар в воздухе (его давление при комнатной температуре — около 2 % от $p_0$).