L/C контур — Задание 21 ЕГЭ по физике №00048137

Сначала поймём, что происходит. Катушка, конденсатор и резистор соединены последовательно и подключены к источнику переменной ЭДС с частотой $\omega$. В цепи идут вынужденные электромагнитные колебания. Сейчас между обкладками стоит диэлектрическая пластина (рисунок), и при таком заполнении в цепи наблюдается резонанс: собственная частота цепи равна частоте источника. Вольтметр показывает амплитуду напряжения на конденсаторе. Пластину вынимают медленно, поэтому в каждый момент в цепи успевают установиться вынужденные колебания.

Шаг 1 — ёмкость. Ёмкость плоского конденсатора $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d}$. Когда диэлектрик с $\varepsilon\gt1$ заменяется воздухом, ёмкость уменьшается.

Шаг 2 — уход от резонанса. Собственная частота задаётся формулой Томсона $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$. Ёмкость уменьшается — $\omega_0$ растёт и становится больше частоты источника. Резонанс нарушается.

Шаг 3 — сколько напряжения на конденсаторе при резонансе. Амплитуда тока $I_0=\dfrac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}}$, где $X_L=\omega L$ и $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ — сопротивления катушки и конденсатора переменному току. При резонансе $X_L=X_C$, ток ограничивает только резистор, $I_0=\dfrac{\mathcal{E}_0}{R}$, и напряжение на конденсаторе

$$U_C=I_0X_C=\mathcal{E}_0\dfrac{X_C}{R}$$

Сопротивление резистора небольшое, поэтому при резонансе напряжение на конденсаторе во много раз больше амплитуды ЭДС источника.

Шаг 4 — два множителя спорят. Теперь $U_C=I_0\cdot X_C$, и множители меняются в разные стороны: $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ растёт (ёмкость меньше), а ток $I_0$ падает, потому что в знаменателе появляется расстройка $(X_L-X_C)^2$. Кто сильнее? Ёмкостное сопротивление может вырасти самое большее в $\varepsilon$ раз — во столько же раз уменьшится ёмкость. А ток при малом $R$ падает гораздо сильнее: резонанс «острый», и как только $|X_L-X_C|$ становится больше $R$, ток уменьшается во много раз.

Шаг 5 — вывод. Падение тока перевешивает рост ёмкостного сопротивления, поэтому амплитуда напряжения на конденсаторе, а с ней и показания вольтметра, уменьшается.

Проверим себя оценкой. Пусть пластину вынули полностью и ёмкость уменьшилась в $\varepsilon$ раз, тогда $X_C$ стало $\varepsilon X$, где $X$ — прежнее значение $X_C=X_L$. Получаем

$$U_C'=\dfrac{\mathcal{E}_0\cdot\varepsilon X}{\sqrt{R^2+X^2(\varepsilon-1)^2}}\approx\mathcal{E}_0\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon-1}$$

(при малом $R$). Например, при $\varepsilon=2$ это всего $2\mathcal{E}_0$, а при резонансе было $\mathcal{E}_0\dfrac{X}{R}$ — во много раз больше. Строго говоря, в самом начале, пока расстройка $|X_L-X_C|$ ещё меньше $R$, показания почти не меняются, но дальше уменьшаются, — при малом $R$ этот начальный участок ничтожен.