ID: 00026292
К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с циклической частотой $\omega_{\text{и}}$ = 2∙10⁴ $\text{с}^{-1}$ (см. рисунок). Ёмкость С конденсатора колебательного контура можно плавно менять в пределах от 2,5 нФ до 1 мкФ, а индуктивность его катушки L = 0,04 Гн.
Ученик постепенно уменьшал ёмкость конденсатора от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре сперва возрастала, достигала некоего максимального значения и затем уменьшалась. Какое явление наблюдал ученик? Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.
Источник: ФИПИ
Разберёмся в сюжете. На схеме конденсатор $C$ и катушка $L$ соединены последовательно с источником, напряжение на клеммах которого меняется по гармоническому закону с постоянной циклической частотой $\omega_\text{и}=2\cdot 10^{4}\ \text{с}^{-1}$. Такие колебания в контуре называются вынужденными: частоту задаёт источник, а не сам контур. Ученик крутит только одну «ручку» — ёмкость конденсатора, и следит за амплитудой тока.
Обоснуем модель. Контур с конденсатором и катушкой имеет свою, собственную частоту колебаний, которая по формуле Томсона равна $$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$ Когда контур раскачивают внешним переменным напряжением, амплитуда тока тем больше, чем ближе частота источника к собственной частоте контура; при их совпадении наступает резонанс — амплитуда максимальна (её ограничивает только сопротивление контура). Именно это свойство вынужденных колебаний и объясняет всё, что увидел ученик, потому что частота источника фиксирована, а собственная частота меняется вместе с ёмкостью.
Шаг 1 — как ёмкость влияет на собственную частоту. Из формулы Томсона видно: $C$ стоит под корнем в знаменателе, значит чем меньше ёмкость, тем больше $\omega_0$. Ученик уменьшал ёмкость, поэтому собственная частота контура всё время росла.
Шаг 2 — считаем крайние значения. При максимальной ёмкости $C=1$ мкФ $=10^{-6}$ Ф: $$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{0{,}04\cdot 10^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{4\cdot 10^{-8}}}=\frac{1}{2\cdot 10^{-4}}=5\cdot 10^{3}\ \text{с}^{-1}.$$ Это меньше частоты источника $2\cdot 10^{4}\ \text{с}^{-1}$. При минимальной ёмкости $C=2{,}5$ нФ $=2{,}5\cdot 10^{-9}$ Ф: $$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{0{,}04\cdot 2{,}5\cdot 10^{-9}}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-10}}}=10^{5}\ \text{с}^{-1},$$ а это уже больше частоты источника.
Шаг 3 — вывод о проходе через резонанс. Собственная частота непрерывно растёт от $5\cdot 10^{3}$ до $10^{5}\ \text{с}^{-1}$, а частота источника $2\cdot 10^{4}\ \text{с}^{-1}$ лежит внутри этого промежутка. Значит, при каком-то промежуточном значении ёмкости частоты обязательно совпадут.
Шаг 4 — при какой ёмкости это случится. Приравниваем $\omega_0=\omega_\text{и}$: $$\frac{1}{\sqrt{LC}}=\omega_\text{и}\ \Rightarrow\ C=\frac{1}{\omega_\text{и}^{2}L}=\frac{1}{(2\cdot 10^{4})^{2}\cdot 0{,}04}=\frac{1}{1{,}6\cdot 10^{7}}=6{,}25\cdot 10^{-8}\ \text{Ф}=62{,}5\ \text{нФ}.$$ Это значение действительно попадает в интервал от $2{,}5$ нФ до $1000$ нФ, которым располагал ученик.
Шаг 5 — собираем объяснение наблюдения. Пока ёмкость шла от $1$ мкФ к $62{,}5$ нФ, собственная частота приближалась к частоте источника — амплитуда тока росла. В точке $C=62{,}5$ нФ наступил резонанс — амплитуда стала максимальной. Дальше ёмкость уменьшалась, собственная частота уходила выше частоты источника, расстройка снова увеличивалась — амплитуда падала. Ровно такую картину «рост — максимум — спад» и описал ученик.
Ученик наблюдал резонанс — резкий рост амплитуды вынужденных электромагнитных колебаний, когда собственная частота контура совпадает с частотой внешнего источника.
Уменьшая ёмкость, ученик увеличивал собственную частоту контура $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$: при $C=1$ мкФ она равна $5\cdot 10^{3}\ \text{с}^{-1}$, а при $C=2{,}5$ нФ — уже $10^{5}\ \text{с}^{-1}$. По дороге она обязательно проходит через частоту источника $\omega_\text{и}=2\cdot 10^{4}\ \text{с}^{-1}$ — это происходит при $C=62{,}5$ нФ. Именно в этот момент амплитуда тока и достигает максимума, а дальше, когда собственная частота уходит от частоты источника, амплитуда снова падает.