L/C контур — Задание 21 ЕГЭ по физике №00048050

Сначала поймём, что тут происходит. Контур — это катушка и конденсатор. Сам по себе он умеет колебаться со своей, собственной частотой $\nu_0$. Но здесь к нему подключён источник, напряжение которого меняется с частотой $\nu$, и источник «раскачивает» контур. Такие колебания называются вынужденными: ток в контуре меняется с частотой источника $\nu$, а не с собственной частотой. Частота источника в опыте не меняется, ученик меняет только индуктивность катушки.

Шаг 1 — как индуктивность влияет на собственную частоту. Собственная частота контура задаётся формулой Томсона:

$$\nu_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

Ёмкость $C$ постоянна, а индуктивность $L$ стоит в знаменателе под корнем. Значит, когда ученик уменьшает $L$ от $L_{\max}$ до $L_{\min}$, собственная частота $\nu_0$ растёт: от наименьшего значения при $L_{\max}$ до наибольшего при $L_{\min}$.

Шаг 2 — от чего зависит размах вынужденных колебаний. Амплитуда тока при вынужденных колебаниях зависит от того, насколько собственная частота контура отличается от частоты источника. Когда частоты совпадают, $\nu_0=\nu$, источник подталкивает заряды каждый раз «в такт» с их собственным движением, и амплитуда тока наибольшая. Это явление — резонанс. Чем дальше $\nu_0$ от $\nu$ (в любую сторону), тем чаще источник толкает «невпопад» и тем меньше амплитуда. Если нарисовать амплитуду тока в зависимости от $\nu_0$ при неизменной $\nu$, получится резонансная кривая с вершиной в точке $\nu_0=\nu$: слева от вершины она растёт, справа — убывает.

Шаг 3 — что значит наблюдение ученика. Собственная частота всё время росла (шаг 1), а амплитуда тоже всё время росла. По резонансной кривой рост $\nu_0$ увеличивает амплитуду только на левом склоне, где $\nu_0\lt\nu$: там, увеличиваясь, собственная частота приближается к частоте источника. Если бы при каком-то $L$ внутри диапазона частоты сравнялись, дальше $\nu_0$ ушла бы правее вершины и амплитуда начала бы падать — а ученик спада не видел.

Отсюда вывод: при всех значениях индуктивности от $L_{\max}$ до $L_{\min}$ собственная частота контура была меньше частоты источника (самое большее — сравнялась с ней в самом конце, при $L_{\min}$):

$$\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_{\min}C}}\le\nu$$

Уменьшая $L$, ученик подводил контур всё ближе к резонансу, поэтому амплитуда силы тока всё время возрастала.

Проверим себя другим способом — через сопротивления катушки и конденсатора переменному току. Катушка «сопротивляется» току тем сильнее, чем больше её индуктивность: $X_L=2\pi\nu L$; конденсатор — тем сильнее, чем меньше ёмкость: $X_C=\dfrac{1}{2\pi\nu C}$. Мешает току их разность $X_L-X_C$. При $\nu_0\lt\nu$ получается $X_L\gt X_C$ (это то же самое неравенство $4\pi^2\nu^2LC\gt1$). Уменьшая $L$, мы уменьшаем $X_L$ и приближаем его к $X_C$ — разность сокращается, ток растёт. Всё сходится с выводом по резонансной кривой.