ID: 00017089
К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с циклической частотой $\omega_и = 2\cdot10^4\ \text{с}^{-1}$ (см. рисунок). Ёмкость $C$ конденсатора колебательного контура можно плавно менять в пределах от $2{,}5\ \text{нФ}$ до $1\ \text{мкФ}$, а индуктивность его катушки $L = 0{,}04\ \text{Гн}$.
Ученик постепенно уменьшал ёмкость конденсатора от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре сперва возрастала, достигала некоторого максимального значения и затем уменьшалась.
Какое явление наблюдал ученик? Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.
Источник: Сборник Гиголо
Тут источник «раскачивает» контур своей частотой — значит, колебания тока в контуре вынужденные. У любого контура есть и своя, «родная» частота $\omega_0$, на которой он сам любит колебаться. Чем ближе мы подгоняем родную частоту к частоте источника, тем сильнее контур «отзывается» — амплитуда растёт. Когда частоты совпали — это и есть резонанс, амплитуда тут максимальна. А родную частоту мы как раз и крутим, меняя ёмкость: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.
Чем меньше $C$, тем больше собственная частота $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$. В начале опыта ёмкость большая ($C_1 = 1\ \text{мкФ}$), поэтому $\omega_0$ маленькая и сильно отличается от частоты источника $\omega_и$ — контур отзывается слабо, амплитуда тока невелика. Уменьшаем $C$ — $\omega_0$ ползёт вверх, приближается к $\omega_и$, и амплитуда растёт.
В какой-то момент $\omega_0 = \omega_и$ — это резонанс, амплитуда тока максимальна. Найдём, при какой ёмкости это случилось. Из условия резонанса $\dfrac{1}{\sqrt{LC_p}} = \omega_и$ выражаем ёмкость:
$$C_p = \dfrac{1}{L\,\omega_и^2} = \dfrac{1}{0{,}04 \cdot (2\cdot10^4)^2} = \dfrac{1}{0{,}04 \cdot 4\cdot10^8} = \dfrac{1}{1{,}6\cdot10^7} = 6{,}25\cdot10^{-8}\ \text{Ф} = 62{,}5\ \text{нФ}.$$
Значение $62{,}5\ \text{нФ}$ как раз попадает внутрь диапазона $[2{,}5\ \text{нФ};\ 1000\ \text{нФ}]$ — поэтому ученик и смог «поймать» резонанс, плавно крутя ёмкость.
Уменьшаем $C$ дальше — собственная частота уже перескочила $\omega_и$ и всё больше от неё удаляется (к $C_2 = 2{,}5\ \text{нФ}$ она максимальна). Расстройка снова растёт, и амплитуда тока падает. Отсюда и весь рисунок: рост — максимум (резонанс) — спад.
Ответ: ученик наблюдал резонанс. Амплитуда тока максимальна, когда собственная частота контура $\omega_0$ совпадает с частотой источника $\omega_и$; это происходит при $C_p \approx 62{,}5$ нФ.
Ученик наблюдал резонанс: амплитуда тока максимальна, когда собственная частота контура совпадает с частотой источника. Это происходит при ёмкости C ≈ 62,5 нФ.