ID: 00017089
К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с циклической частотой \omega_и = 2\cdot10^4\ \text{с}^{-1} (см. рисунок). Ёмкость C конденсатора колебательного контура можно плавно менять в пределах от 2{,}5\ \text{нФ} до 1\ \text{мкФ}, а индуктивность его катушки L = 0{,}04\ \text{Гн}.
Ученик постепенно уменьшал ёмкость конденсатора от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре сперва возрастала, достигала некоторого максимального значения и затем уменьшалась.
Какое явление наблюдал ученик? Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.
Источник: Сборник Гиголо
Тут источник «раскачивает» контур своей частотой — значит, колебания тока в контуре вынужденные. У любого контура есть и своя, «родная» частота \omega_0, на которой он сам любит колебаться. Чем ближе мы подгоняем родную частоту к частоте источника, тем сильнее контур «отзывается» — амплитуда растёт. Когда частоты совпали — это и есть резонанс, амплитуда тут максимальна. А родную частоту мы как раз и крутим, меняя ёмкость: \omega_0 = 1/\sqrt{LC}.
Чем меньше C, тем больше собственная частота \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}. В начале опыта ёмкость большая (C_1 = 1\ \text{мкФ}), поэтому \omega_0 маленькая и сильно отличается от частоты источника \omega_и — контур отзывается слабо, амплитуда тока невелика. Уменьшаем C — \omega_0 ползёт вверх, приближается к \omega_и, и амплитуда растёт.
В какой-то момент \omega_0 = \omega_и — это резонанс, амплитуда тока максимальна. Найдём, при какой ёмкости это случилось. Из условия резонанса \dfrac{1}{\sqrt{LC_p}} = \omega_и выражаем ёмкость:
C_p = \dfrac{1}{L\,\omega_и^2} = \dfrac{1}{0{,}04 \cdot (2\cdot10^4)^2} = \dfrac{1}{0{,}04 \cdot 4\cdot10^8} = \dfrac{1}{1{,}6\cdot10^7} = 6{,}25\cdot10^{-8}\ \text{Ф} = 62{,}5\ \text{нФ}.
Значение 62{,}5\ \text{нФ} как раз попадает внутрь диапазона [2{,}5\ \text{нФ};\ 1000\ \text{нФ}] — поэтому ученик и смог «поймать» резонанс, плавно крутя ёмкость.
Уменьшаем C дальше — собственная частота уже перескочила \omega_и и всё больше от неё удаляется (к C_2 = 2{,}5\ \text{нФ} она максимальна). Расстройка снова растёт, и амплитуда тока падает. Отсюда и весь рисунок: рост — максимум (резонанс) — спад.
Ответ: ученик наблюдал резонанс. Амплитуда тока максимальна, когда собственная частота контура \omega_0 совпадает с частотой источника \omega_и; это происходит при C_p \approx 62{,}5 нФ.
Ученик наблюдал резонанс: амплитуда тока максимальна, когда собственная частота контура совпадает с частотой источника. Это происходит при ёмкости C ≈ 62,5 нФ.