Тепловые Явления — Задание 24 ЕГЭ по физике №00048102

Что здесь происходит. Два одинаковых сосуда, в каждом $M=4{,}18$ кг воды при одной и той же начальной температуре $t_0$ — её нам не сказали. В первый добавляют $m=0{,}42$ кг кипятка, во второй — столько же пара, тоже при $100\ ^\circ\text{C}$. Ясно, что во втором сосуде станет теплее: пар, прежде чем остывать, должен ещё сконденсироваться и отдать при этом много теплоты. Вопрос — насколько теплее.

Шаг 1 — первый сосуд. Горячая вода остывает от $100\ ^\circ\text{C}$ до общей температуры $t_1$, холодная нагревается от $t_0$ до $t_1$. Теплообменом с окружающей средой и теплоёмкостью сосуда пренебрегаем, поэтому по уравнению теплового баланса отданная теплота равна полученной:

$$cm\left(100-t_1\right)=cM\left(t_1-t_0\right).$$

Шаг 2 — второй сосуд. Здесь горячая порция отдаёт теплоту в два этапа: сначала пар конденсируется при $100\ ^\circ\text{C}$ и выделяет $Lm$ ($L$ — удельная теплота парообразования воды), потом получившаяся вода массой $m$ остывает от $100\ ^\circ\text{C}$ до $t_2$. Считаем, что весь пар сконденсировался (условие этого проверим в конце):

$$Lm+cm\left(100-t_2\right)=cM\left(t_2-t_0\right).$$

Шаг 3 — избавляемся от неизвестной $t_0$. Вычтем из второго уравнения первое. Слагаемые $cm\cdot100$ и $cMt_0$ уйдут, останется

$$Lm-cm\left(t_2-t_1\right)=cM\left(t_2-t_1\right)\quad\Rightarrow\quad t_2-t_1=\dfrac{Lm}{c\left(M+m\right)}.$$

Смысл простой: в итоге в каждом сосуде $M+m=4{,}6$ кг воды, и вся разница между ними — это теплота конденсации, «размазанная» по этим $4{,}6$ кг.

Шаг 4 — считаем. Берём $L=2{,}3\cdot10^6$ Дж/кг и $c=4200$ Дж/(кг$\cdot$°C):

$$t_2-t_1=\dfrac{2{,}3\cdot10^6\cdot0{,}42}{4200\cdot4{,}6}=\dfrac{966\,000}{19\,320}=50\ ^\circ\text{C}.$$

Проверим себя — сконденсировался ли весь пар. Наша формула верна, только если во втором сосуде вода не дошла до кипения: $t_2\le100\ ^\circ\text{C}$, то есть $t_1\le50\ ^\circ\text{C}$. Из первого уравнения $t_1=\dfrac{Mt_0+100m}{M+m}=\dfrac{4{,}18t_0+42}{4{,}6}$. Условие $t_1\le50$ даёт $4{,}18t_0\le188$, то есть $t_0\le45\ ^\circ\text{C}$. Обычная вода (комнатная, из-под крана) этому условию удовлетворяет, так что ответ осмысленный. И ещё проверка: если бы во второй сосуд вместо пара влили воду ($L$ как бы равно нулю), разница пропала бы — формула это и показывает.

Почему модель законна. Теплообмен идёт только между порциями воды внутри каждого сосуда (потерь нет, теплоёмкость сосудов не учитываем) — поэтому работает уравнение теплового баланса. Пар при $100\ ^\circ\text{C}$ конденсируется при постоянной температуре, выделяя теплоту $Lm$; удельная теплоёмкость воды в этом диапазоне температур постоянна.