L/C контур — Задание 15 ЕГЭ по физике №00047493

В идеальном контуре энергия без потерь перетекает от конденсатора к катушке и обратно. Нам дан закон для заряда обкладки $q(t)=q_m\cos\omega t$: в момент $t=0$ конденсатор заряжен полностью. По этой формуле восстановим, как ведут себя остальные величины, и узнаем графики А и Б.

Какие величины меняют знак. Сила тока и напряжение на конденсаторе бывают и положительными, и отрицательными: ток течёт то в одну, то в другую сторону, конденсатор перезаряжается. Энергии — нет: в формулы $W_L=\dfrac{Li^2}{2}$ и $W_C=\dfrac{q^2}{2C}$ входят квадраты, поэтому графики энергий не опускаются ниже оси.

График А уходит и вверх, и вниз — значит, это сила тока или напряжение. Напряжение $u=\dfrac{q}{C}$ повторяет форму заряда: в момент $t=0$ оно наибольшее. А график А начинается с нуля. Ток — это скорость изменения заряда, то есть производная заряда по времени:

$$i=q'(t)=-q_m\omega\sin\omega t.$$

При $t=0$ синус равен нулю — ток нулевой. Сразу после начала заряд убывает от максимума, поэтому ток отрицательный, и график сначала идёт вниз. Так и ведёт себя график А: это сила тока в катушке (позиция 1).

График Б не опускается ниже нуля и за период $T$ делает два одинаковых горба — это энергия. Он начинается с нуля. Энергия конденсатора при $t=0$ наибольшая (заряд максимален), а энергия катушки равна нулю, потому что тока ещё нет. Подставим ток в формулу энергии катушки:

$$W_L=\dfrac{Li^2}{2}=\dfrac{Lq_m^2\omega^2}{2}\sin^2\omega t.$$

Квадрат синуса равен нулю при $t=0$, $\dfrac{T}{2}$, $T$ и наибольший при $\dfrac{T}{4}$ и $\dfrac{3T}{4}$ — ровно как график Б. Это энергия магнитного поля катушки (позиция 2).

Проверим себя: при $t=\dfrac{T}{4}$ заряд $q_m\cos\dfrac{\pi}{2}=0$, конденсатор пуст, и вся энергия контура собрана в катушке. На графике А в этот момент нижняя точка — ток наибольший по модулю, на графике Б — вершина. Всё сходится.

Итог: А — 1, Б — 2.