L/C контур — Задание 15 ЕГЭ по физике №00047439

Нам даны индуктивность $L=0{,}4\ \text{мГн}=4\cdot10^{-4}$ Гн и закон изменения напряжения $U(t)=50\cos(5\cdot10^{6}t)$. Из него видно: амплитуда напряжения $U_m=50$ В, циклическая частота $\omega=5\cdot10^{6}$ рад/с. Для заряда и энергии понадобится ёмкость — найдём её из формулы Томсона.

Ёмкость. Для идеального контура $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, отсюда

$$C=\dfrac{1}{\omega^2L}=\dfrac{1}{(5\cdot10^{6})^2\cdot4\cdot10^{-4}}=\dfrac{1}{25\cdot10^{12}\cdot4\cdot10^{-4}}=\dfrac{1}{10^{10}}=10^{-10}\ \text{Ф}.$$

Заряд конденсатора связан с напряжением через ёмкость, $q=CU$. Ёмкость постоянна, поэтому заряд меняется так же, как напряжение, — по косинусу с той же частотой:

$$q(t)=10^{-10}\cdot50\cos(5\cdot10^{6}t)=5\cdot10^{-9}\cos(5\cdot10^{6}t).$$

Энергия электрического поля конденсатора зависит от квадрата напряжения:

$$W_C(t)=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{10^{-10}\cdot2500}{2}\cos^2(5\cdot10^{6}t)=1{,}25\cdot10^{-7}\cos^2(5\cdot10^{6}t)=0{,}125\cdot10^{-6}\cos^2(5\cdot10^{6}t).$$

Заряд — формула 4, энергия конденсатора — формула 2.

Проверим себя: формула 3 — это сила тока. Ток — быстрота изменения заряда: $i=q'=-5\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^{6}\sin(5\cdot10^{6}t)=-0{,}025\sin(5\cdot10^{6}t)$. Она нам не нужна, но подтверждает, что заряд найден верно.

Итог: А — 4, Б — 2.