Импульс — Задание 3 ЕГЭ по физике №00047322

Граната летела по прямой и разорвалась на два осколка. Первый полетел поперёк прежнего направления (под углом $90^\circ$) со скоростью $60$ м/с, второй — под углом $30^\circ$ к прежнему направлению со скоростью $40$ м/с. Нужно найти, во сколько раз масса второго осколка больше массы первого.

Разрыв длится очень короткое время, и внешняя сила — сила тяжести — за это время почти не меняет импульс. Силы, которые разбрасывают осколки, внутренние. Поэтому импульс гранаты сразу перед разрывом равен суммарному импульсу осколков сразу после него.

Импульс — вектор, и закон сохранения можно записать для каждой проекции отдельно. Направим ось $x$ вдоль первоначального движения гранаты, ось $y$ — поперёк него. Скорость и масса гранаты не даны, поэтому уравнение для оси $x$ нам не поможет: в нём будут неизвестные. Зато поперёк своего пути граната не двигалась совсем — проекция её импульса на ось $y$ равна нулю. Значит, и после разрыва поперечные импульсы осколков в сумме дают ноль: осколки разлетаются по разные стороны от линии полёта, и их поперечные импульсы равны по модулю.

Первый осколок летит строго поперёк, весь его импульс поперечный: $m_1v_1$.

У второго осколка скорость направлена под углом $30^\circ$ к линии полёта. Поперёк этой линии смотрит составляющая, противолежащая углу $30^\circ$, то есть $v_2\sin30^\circ$. Его поперечный импульс равен $m_2v_2\sin30^\circ$.

Приравниваем модули поперечных импульсов:

$$m_1v_1=m_2v_2\sin30^\circ$$

Выражаем отношение масс и подставляем числа ($\sin30^\circ=0{,}5$):

$$\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{v_1}{v_2\sin30^\circ}=\dfrac{60}{40\cdot0{,}5}=\dfrac{60}{20}=3$$

Проверим себя по смыслу. Поперёк линии полёта второй осколок движется со скоростью всего $20$ м/с, а первый — $60$ м/с. Чтобы поперечные импульсы были равны, второй осколок должен быть тяжелее — ровно в $60:20=3$ раза. Так и вышло.