Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00043184

Что тут происходит. Одноатомный идеальный газ работает в тепловой машине по циклу: изобарное нагревание 1→2, изохорное охлаждение 2→3 и адиабатное сжатие 3→1. Чисел почти нет, известно только, что работа газа на изобаре вчетверо больше работы, совершённой над газом при адиабатном сжатии. Нужно найти КПД.

Шаг 1 — вводим температуры. Обозначим температуры точек $T_1$, $T_2$, $T_3$, количество газа $\nu$. Всё будем выражать через разности температур. Работа на изобаре $A_{12}=p\Delta V=\nu R(T_2-T_1)$. На адиабате теплообмена нет, поэтому работа внешних сил над газом целиком идёт на рост его внутренней энергии: $A'_{31}=\Delta U_{31}=\dfrac{3}{2}\nu R(T_1-T_3)$.

Шаг 2 — связь из условия. «В 4 раза больше» сравнивает модули работ: $$\nu R(T_2-T_1)=4\cdot\frac{3}{2}\nu R(T_1-T_3)\quad\Rightarrow\quad T_2-T_1=6(T_1-T_3).$$ Обозначим $x=T_1-T_3$, тогда $T_2-T_1=6x$ и $T_2-T_3=7x$.

Шаг 3 — где газ получает и где отдаёт теплоту. На изобаре 1→2 газ нагревается и расширяется — получает теплоту. Молярная теплоёмкость одноатомного газа при постоянном давлении равна $\dfrac{5}{2}R$: $$Q_{\text{н}}=\frac{5}{2}\nu R(T_2-T_1)=15\,\nu Rx.$$ На изохоре 2→3 работы нет, газ остывает — отдаёт теплоту, теплоёмкость $\dfrac{3}{2}R$: $$|Q_{\text{х}}|=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_3)=10{,}5\,\nu Rx.$$ На адиабате теплообмена нет.

Шаг 4 — КПД: $$\eta=1-\frac{|Q_{\text{х}}|}{Q_{\text{н}}}=1-\frac{10{,}5}{15}=1-0{,}7=0{,}3=30\,\%.$$

Проверим себя через работу. Работа цикла — работа на изобаре минус работа сжатия: $A=6\nu Rx-1{,}5\,\nu Rx=4{,}5\,\nu Rx$. Тогда $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{н}}}=\dfrac{4{,}5}{15}=0{,}3$ — то же самое. И энергобаланс сходится: $15-10{,}5=4{,}5$.