ID: 00026531
Один моль одноатомного идеального газа совершает цикл 1–2–3–1, состоящий из изобары (1–2), изохоры (2–3) и адиабаты (3–1) (см. рисунок). Абсолютная температура газа в состояниях 1, 2 и 3 равна 400 К, 800 К и 252 К соответственно. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по этому циклу.
Источник: ФИПИ
Начнём с чтения диаграммы. Участок 1–2 — горизонтальный отрезок вправо: давление постоянно, объём растёт, температура поднимается с 400 К до 800 К (изобарное расширение). Участок 2–3 — вертикальный отрезок вниз: объём заморожен, давление падает, газ остывает с 800 К до 252 К (изохорное охлаждение). Участок 3–1 — плавная кривая, возвращающая газ в исходное состояние без теплообмена (адиабатное сжатие).
Шаг 1 — стратегия. КПД считается по определению: \eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}. Все три температуры даны, газ одноатомный и его один моль, поэтому теплоты на участках выражаются напрямую через разности температур — ни давления, ни объёмы искать не придётся.
Шаг 2 — изобарное расширение 1–2. Тепло идёт и на нагрев газа, и на работу расширения: \Delta U=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T, A=\nu R\Delta T, в сумме Q_{12}=\dfrac{5}{2}\nu R(T_2-T_1)=\dfrac{5}{2}R(800-400)=1000R. Теплота положительна — это единственный участок, где газ получает энергию от нагревателя, значит Q_{н}=1000R.
Шаг 3 — изохорное охлаждение 2–3. Объём постоянен, работа равна нулю, вся теплота — это изменение внутренней энергии: Q_{23}=\dfrac{3}{2}\nu R(T_3-T_2)=\dfrac{3}{2}R(252-800)=\dfrac{3}{2}R\cdot(-548)=-822R. Знак минус означает, что газ отдал это тепло холодильнику.
Шаг 4 — адиабатное сжатие 3–1. По определению адиабаты теплообмена нет: Q_{31}=0. Внешние силы совершают над газом работу, и она целиком идёт в его внутреннюю энергию — потому газ и нагревается обратно с 252 К до 400 К.
Шаг 5 — работа за цикл и КПД. За полный цикл газ возвращается в исходное состояние, поэтому его внутренняя энергия не меняется, и работа равна алгебраической сумме теплот: A_{ц}=1000R-822R+0=178R. Тогда \eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}=\dfrac{178R}{1000R}=0{,}178\approx 18\%. Универсальная газовая постоянная сократилась, так что считать в джоулях и не понадобилось.
Прикинем правдоподобность. Максимально возможный КПД для перепада температур от 252 К до 800 К (цикл Карно) составил бы 1-\dfrac{252}{800}\approx 0{,}68. Наши 18\% заметно меньше — и это нормально: реальный цикл из изобары, изохоры и адиабаты далёк от идеального.
Почему такая модель. Газ идеальный одноатомный, поэтому его внутренняя энергия равна U=\dfrac{3}{2}\nu RT и зависит только от температуры — благодаря этому теплоты считаются по одним лишь температурам. Первый закон термодинамики Q=\Delta U+A применяем к каждому участку: на изобаре работа равна p\Delta V=\nu R\Delta T (это следствие уравнения Менделеева — Клапейрона), на изохоре работа нулевая, на адиабате нулевая теплота. Для замкнутого цикла внутренняя энергия — функция состояния, её изменение равно нулю, откуда работа за цикл равна сумме теплот. В знаменателе КПД по определению стоит только теплота, полученная от нагревателя.