Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026792

Считаем цикл с диаграммы. Точка 1 имеет координаты $(V_0;p_0)$, точка 2 — $(V_0;2p_0)$, точка 3 — $(4V_0;3p_0)$, и обход идёт 1$\to$2$\to$3$\to$1. Участок 1–2 вертикальный — это изохорный нагрев. Участки 2–3 и 3–1 — наклонные отрезки прямых, у них меняются сразу и давление, и объём, так что «готовой» формулы для них нет: придётся считать работу как площадь под графиком, а внутреннюю энергию — через произведение $pV$.

Шаг 1 — переведём состояния на язык $pV$. Для идеального газа $\nu RT=pV$, поэтому вместо температур удобно работать с произведениями: $p_1V_1=p_0V_0$, $p_2V_2=2p_0V_0$, $p_3V_3=3p_0\cdot 4V_0=12p_0V_0$. Внутренняя энергия одноатомного гелия равна $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$.

Шаг 2 — участок 1–2 (изохора). Объём не меняется, работы нет, вся теплота идёт в нагрев: $$Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\left(2p_0V_0-p_0V_0\right)=1{,}5\,p_0V_0.$$ Теплота положительна — газ здесь получает энергию.

Шаг 3 — участок 2–3. Работа равна площади под отрезком, то есть площади трапеции с основаниями $2p_0$ и $3p_0$ и высотой $\Delta V=4V_0-V_0=3V_0$: $$A_{23}=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}\cdot 3V_0=7{,}5\,p_0V_0.$$ Изменение внутренней энергии: $$\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}\left(12p_0V_0-2p_0V_0\right)=15\,p_0V_0.$$ По первому закону термодинамики $$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=15+7{,}5=22{,}5\,p_0V_0\gt 0.$$ Газ и нагревается, и расширяется, поэтому тепло на этом участке только подводится.

Шаг 4 — участок 3–1. Здесь газ сжимают и охлаждают: $$A_{31}=\dfrac{3p_0+p_0}{2}\cdot(V_0-4V_0)=-6\,p_0V_0,\qquad \Delta U_{31}=\dfrac{3}{2}\left(p_0V_0-12p_0V_0\right)=-16{,}5\,p_0V_0,$$ $$Q_{31}=-16{,}5-6=-22{,}5\,p_0V_0\lt 0.$$ Теплота отрицательна — этот участок отдаёт энергию холодильнику и в $Q_{нагр}$ не входит.

Шаг 5 — находим «цену клетки» $p_0V_0$. Нагреватель отдаёт газу тепло на участках 1–2 и 2–3: $$Q_{нагр}=Q_{12}+Q_{23}=1{,}5\,p_0V_0+22{,}5\,p_0V_0=24\,p_0V_0.$$ По условию это $120$ кДж, значит $$p_0V_0=\dfrac{120}{24}=5\ \text{кДж}=5000\ \text{Дж}.$$

Шаг 6 — температура в состоянии 2. В точке 2 произведение $pV$ равно $2p_0V_0$, поэтому $$T_2=\dfrac{p_2V_2}{\nu R}=\dfrac{2\cdot 5000}{4\cdot 8{,}31}=\dfrac{10\,000}{33{,}24}\approx 301\ \text{К}.$$ Около $300$ К — то есть примерно комнатная температура, вполне правдоподобно для начала цикла.

Почему такая модель. Гелий — идеальный одноатомный газ, поэтому справедливы уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$ и формула внутренней энергии $U=\dfrac{3}{2}pV$; последняя особенно удобна, когда температуры неизвестны, а произведения $pV$ читаются прямо с диаграммы. Работа газа в термодинамике равна площади под графиком процесса на диаграмме $p$–$V$, и для отрезка прямой это площадь трапеции — формула $A=p\Delta V$ здесь не работает, ведь давление меняется. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ применяем к каждому участку по отдельности, а в $Q_{нагр}$ по определению включаем только те участки, где теплота положительна.