Задание 24 ЕГЭ по физике: В цикле, показанном на pV -диаграмме, ню равно 4 моль…

Считаем цикл с диаграммы. Точка 1 имеет координаты (V_0;p_0), точка 2 — (V_0;2p_0), точка 3 — (4V_0;3p_0), и обход идёт 1\to2\to3\to1. Участок 1–2 вертикальный — это изохорный нагрев. Участки 2–3 и 3–1 — наклонные отрезки прямых, у них меняются сразу и давление, и объём, так что «готовой» формулы для них нет: придётся считать работу как площадь под графиком, а внутреннюю энергию — через произведение pV.

Шаг 1 — переведём состояния на язык pV. Для идеального газа \nu RT=pV, поэтому вместо температур удобно работать с произведениями: p_1V_1=p_0V_0, p_2V_2=2p_0V_0, p_3V_3=3p_0\cdot 4V_0=12p_0V_0. Внутренняя энергия одноатомного гелия равна U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV.

Шаг 2 — участок 1–2 (изохора). Объём не меняется, работы нет, вся теплота идёт в нагрев: Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\left(2p_0V_0-p_0V_0\right)=1{,}5\,p_0V_0. Теплота положительна — газ здесь получает энергию.

Шаг 3 — участок 2–3. Работа равна площади под отрезком, то есть площади трапеции с основаниями 2p_0 и 3p_0 и высотой \Delta V=4V_0-V_0=3V_0: A_{23}=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}\cdot 3V_0=7{,}5\,p_0V_0. Изменение внутренней энергии: \Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}\left(12p_0V_0-2p_0V_0\right)=15\,p_0V_0. По первому закону термодинамики Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=15+7{,}5=22{,}5\,p_0V_0\gt 0. Газ и нагревается, и расширяется, поэтому тепло на этом участке только подводится.

Шаг 4 — участок 3–1. Здесь газ сжимают и охлаждают: A_{31}=\dfrac{3p_0+p_0}{2}\cdot(V_0-4V_0)=-6\,p_0V_0,\qquad \Delta U_{31}=\dfrac{3}{2}\left(p_0V_0-12p_0V_0\right)=-16{,}5\,p_0V_0, Q_{31}=-16{,}5-6=-22{,}5\,p_0V_0\lt 0. Теплота отрицательна — этот участок отдаёт энергию холодильнику и в Q_{нагр} не входит.

Шаг 5 — находим «цену клетки» p_0V_0. Нагреватель отдаёт газу тепло на участках 1–2 и 2–3: Q_{нагр}=Q_{12}+Q_{23}=1{,}5\,p_0V_0+22{,}5\,p_0V_0=24\,p_0V_0. По условию это 120 кДж, значит p_0V_0=\dfrac{120}{24}=5\ \text{кДж}=5000\ \text{Дж}.

Шаг 6 — температура в состоянии 2. В точке 2 произведение pV равно 2p_0V_0, поэтому T_2=\dfrac{p_2V_2}{\nu R}=\dfrac{2\cdot 5000}{4\cdot 8{,}31}=\dfrac{10\,000}{33{,}24}\approx 301\ \text{К}. Около 300 К — то есть примерно комнатная температура, вполне правдоподобно для начала цикла.

Почему такая модель. Гелий — идеальный одноатомный газ, поэтому справедливы уравнение Менделеева — Клапейрона pV=\nu RT и формула внутренней энергии U=\dfrac{3}{2}pV; последняя особенно удобна, когда температуры неизвестны, а произведения pV читаются прямо с диаграммы. Работа газа в термодинамике равна площади под графиком процесса на диаграмме p–V, и для отрезка прямой это площадь трапеции — формула A=p\Delta V здесь не работает, ведь давление меняется. Первый закон термодинамики Q=\Delta U+A применяем к каждому участку по отдельности, а в Q_{нагр} по определению включаем только те участки, где теплота положительна.