Задание 24 ЕГЭ по физике: 1 моль одноатомного идеального газа совершает цикл 1–2–3–1,…

Прочитаем цикл по рисунку. В осях p–V участок 1–2 нарисован вертикальным отрезком вверх: объём постоянен, давление растёт — изохорный нагрев с 400 К до 600 К. Участок 2–3 — плавная спадающая кривая: это адиабатное расширение, теплообмена с окружением нет, температура падает с 600 К до 510 К. Участок 3–1 — горизонтальный отрезок влево: давление постоянно, объём уменьшается, газ охлаждается с 510 К до 400 К.

Шаг 1 — что вообще надо посчитать. КПД теплового двигателя — доля полученной от нагревателя теплоты, ушедшей в полезную работу: \eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}. Работу за цикл удобно не искать через площади, а получить из первого закона термодинамики: за замкнутый цикл газ возвращается в исходное состояние, значит \Delta U=0 и вся сумма теплот превращается в работу: A_{ц}=Q_{н}-|Q_{х}|.

Шаг 2 — участок 1–2 (изохора). Объём не меняется, работы газ не совершает, поэтому вся теплота идёт на нагрев. Для одноатомного газа Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(600-400)=1{,}5\cdot 8{,}31\cdot 200\approx 2493\ \text{Дж}. Теплота положительна — это и есть нагреватель.

Шаг 3 — участок 2–3 (адиабата). По определению адиабатного процесса теплообмена нет: Q_{23}=0. Газ расширяется и совершает работу целиком за счёт своей внутренней энергии, потому и остывает с 600 К до 510 К. Для КПД этот участок в теплоты не входит вовсе.

Шаг 4 — участок 3–1 (изобара). Здесь газ и охлаждается, и сжимается, поэтому теплота отрицательна. При постоянном давлении Q_{31}=\dfrac{5}{2}\nu R(T_1-T_3)=2{,}5\cdot 8{,}31\cdot(400-510)=2{,}5\cdot 8{,}31\cdot(-110)\approx -2285\ \text{Дж}. Множитель \dfrac{5}{2} появился потому, что теплота пошла и на изменение внутренней энергии (\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T), и на работу (\nu R\Delta T).

Шаг 5 — работа за цикл и КПД. A_{ц}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{31}=2493+0-2285\approx 208\ \text{Дж}, \eta=\dfrac{208}{2493}\approx 0{,}083=8{,}3\%. Можно и без арифметики в джоулях: \eta=1-\dfrac{2{,}5\cdot 110}{1{,}5\cdot 200}=1-\dfrac{275}{300}=\dfrac{25}{300}=\dfrac{1}{12}. Универсальная газовая постоянная сократилась — красиво и надёжно.

КПД вышел скромным, около восьми процентов, и это логично: при изобарном сжатии газ отдаёт почти столько же тепла, сколько получил на изохоре, а полезной работой остаётся лишь маленькая разница.

Почему такая модель. Газ идеальный одноатомный, поэтому его внутренняя энергия равна U=\dfrac{3}{2}\nu RT и зависит только от температуры — именно это позволяет считать теплоты по одним лишь температурам, не зная ни давлений, ни объёмов. Первый закон термодинамики Q=\Delta U+A применяем к каждому участку: на изохоре работа равна нулю, на изобаре A=p\Delta V=\nu R\Delta T, на адиабате Q=0. Для замкнутого цикла внутренняя энергия — функция состояния, она возвращается к исходному значению, и работа за цикл равна алгебраической сумме теплот. В знаменателе КПД по определению стоит только теплота, полученная от нагревателя, — отданную холодильнику туда включать нельзя.