Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026525

Прочитаем цикл по рисунку. В осях $p$–$V$ участок 1–2 нарисован вертикальным отрезком вверх: объём постоянен, давление растёт — изохорный нагрев с $400$ К до $600$ К. Участок 2–3 — плавная спадающая кривая: это адиабатное расширение, теплообмена с окружением нет, температура падает с $600$ К до $510$ К. Участок 3–1 — горизонтальный отрезок влево: давление постоянно, объём уменьшается, газ охлаждается с $510$ К до $400$ К.

Шаг 1 — что вообще надо посчитать. КПД теплового двигателя — доля полученной от нагревателя теплоты, ушедшей в полезную работу: $$\eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}.$$ Работу за цикл удобно не искать через площади, а получить из первого закона термодинамики: за замкнутый цикл газ возвращается в исходное состояние, значит $\Delta U=0$ и вся сумма теплот превращается в работу: $A_{ц}=Q_{н}-|Q_{х}|$.

Шаг 2 — участок 1–2 (изохора). Объём не меняется, работы газ не совершает, поэтому вся теплота идёт на нагрев. Для одноатомного газа $$Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)=\dfrac{3}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot(600-400)=1{,}5\cdot 8{,}31\cdot 200\approx 2493\ \text{Дж}.$$ Теплота положительна — это и есть нагреватель.

Шаг 3 — участок 2–3 (адиабата). По определению адиабатного процесса теплообмена нет: $$Q_{23}=0.$$ Газ расширяется и совершает работу целиком за счёт своей внутренней энергии, потому и остывает с $600$ К до $510$ К. Для КПД этот участок в теплоты не входит вовсе.

Шаг 4 — участок 3–1 (изобара). Здесь газ и охлаждается, и сжимается, поэтому теплота отрицательна. При постоянном давлении $$Q_{31}=\dfrac{5}{2}\nu R(T_1-T_3)=2{,}5\cdot 8{,}31\cdot(400-510)=2{,}5\cdot 8{,}31\cdot(-110)\approx -2285\ \text{Дж}.$$ Множитель $\dfrac{5}{2}$ появился потому, что теплота пошла и на изменение внутренней энергии ($\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T$), и на работу ($\nu R\Delta T$).

Шаг 5 — работа за цикл и КПД. $$A_{ц}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{31}=2493+0-2285\approx 208\ \text{Дж},$$ $$\eta=\dfrac{208}{2493}\approx 0{,}083=8{,}3\%.$$ Можно и без арифметики в джоулях: $$\eta=1-\dfrac{2{,}5\cdot 110}{1{,}5\cdot 200}=1-\dfrac{275}{300}=\dfrac{25}{300}=\dfrac{1}{12}.$$ Универсальная газовая постоянная сократилась — красиво и надёжно.

КПД вышел скромным, около восьми процентов, и это логично: при изобарном сжатии газ отдаёт почти столько же тепла, сколько получил на изохоре, а полезной работой остаётся лишь маленькая разница.

Почему такая модель. Газ идеальный одноатомный, поэтому его внутренняя энергия равна $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ и зависит только от температуры — именно это позволяет считать теплоты по одним лишь температурам, не зная ни давлений, ни объёмов. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ применяем к каждому участку: на изохоре работа равна нулю, на изобаре $A=p\Delta V=\nu R\Delta T$, на адиабате $Q=0$. Для замкнутого цикла внутренняя энергия — функция состояния, она возвращается к исходному значению, и работа за цикл равна алгебраической сумме теплот. В знаменателе КПД по определению стоит только теплота, полученная от нагревателя, — отданную холодильнику туда включать нельзя.