ID: 00026527
В тепловом двигателе 1 моль идеального одноатомного газа совершает цикл 1–2–3–4–1 , показанный на графике в координатах p – T , где p – давление газа, Т – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 3 раза. Определите КПД цикла.
Источник: ФИПИ
Главная трудность здесь — непривычные оси: по горизонтали абсолютная температура, по вертикали давление. Разберём, что за процессы нарисованы. Отрезки 1–2 и 4–3 наклонные и лежат на прямых, проходящих через начало координат; на такой прямой отношение $\dfrac{p}{T}$ одно и то же, а из уравнения $pV=\nu RT$ следует, что тогда постоянен объём. Значит, это изохоры. Отрезки 2–3 и 4–1 горизонтальны — давление не меняется, это изобары. Один моль одноатомного газа обходит цикл по часовой стрелке, работая как двигатель.
Шаг 1 — восстановим все состояния. Примем за опорные величины параметры точки 1: $T_1$, $p_1$, $V_1$, причём $p_1V_1=RT_1$. По условию $T_2=T_4=3T_1$. На изохоре 1–2 давление пропорционально температуре, поэтому $p_2=3p_1$. На изобаре 4–1 объём пропорционален температуре, поэтому $V_4=3V_1$. Точка 3 лежит на одной изохоре с точкой 4 (объём $3V_1$) и на одной изобаре с точкой 2 (давление $3p_1$), значит $$T_3=\dfrac{p_3V_3}{R}=\dfrac{3p_1\cdot 3V_1}{R}=9T_1.$$ Получился «квадратный» цикл: давление и объём меняются каждый в три раза, а температура — от $T_1$ до $9T_1$.
Шаг 2 — где газ получает тепло. На изохоре 1–2 газ нагревают ($T_1\to3T_1$), работы нет: $$Q_{12}=\dfrac{3}{2}R(3T_1-T_1)=3RT_1.$$ На изобаре 2–3 газ и нагревают, и он расширяется ($3T_1\to9T_1$): $$Q_{23}=\dfrac{5}{2}R(9T_1-3T_1)=15RT_1.$$ Обе теплоты положительны, вместе они и составляют $Q_{н}=18RT_1$.
Шаг 3 — где газ отдаёт тепло. На изохоре 3–4 газ остывает с $9T_1$ до $3T_1$: $$Q_{34}=\dfrac{3}{2}R(3T_1-9T_1)=-9RT_1.$$ На изобаре 4–1 его сжимают и охлаждают с $3T_1$ до $T_1$: $$Q_{41}=\dfrac{5}{2}R(T_1-3T_1)=-5RT_1.$$ Суммарно холодильнику уходит $14RT_1$.
Шаг 4 — работа и КПД. За цикл внутренняя энергия возвращается к прежнему значению, поэтому работа равна разности теплот: $$A_{ц}=18RT_1-14RT_1=4RT_1,$$ $$\eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}=\dfrac{4RT_1}{18RT_1}=\dfrac{2}{9}\approx 0{,}22=22\%.$$
Полезная самопроверка. Перенесём цикл в привычные оси $p$–$V$: получится прямоугольник от $V_1$ до $3V_1$ и от $p_1$ до $3p_1$. Его площадь равна $2p_1\cdot 2V_1=4p_1V_1=4RT_1$ — ровно та работа, что получилась из теплового баланса. Два независимых способа дали одно и то же, значит нигде не сбились.
Почему такая модель. Газ идеальный, поэтому справедливо уравнение Менделеева — Клапейрона, и именно оно переводит «прямая через начало координат в осях $p$–$T$» в «объём постоянен». Газ одноатомный, значит его внутренняя энергия равна $\dfrac{3}{2}\nu RT$: отсюда коэффициент $\dfrac{3}{2}$ в теплотах изохор. На изобарах к изменению внутренней энергии добавляется работа $\nu R\Delta T$, что и даёт коэффициент $\dfrac{5}{2}$. Первый закон термодинамики работает на каждом участке, а для замкнутого цикла даёт $A_{ц}=\sum Q$. КПД по определению — это отношение работы за цикл к теплоте, полученной от нагревателя, поэтому отрицательные теплоты в знаменатель не идут.