ID: 00041122
Брусок массой $m = 4$ кг положили на шероховатую наклонную опору (см. рисунок). На него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}{\text{тр}}$. Чему равен модуль равнодействующей сил $\vec{F}{\text{тр}}$ и $\vec{N}$, если брусок покоится? Ответ дайте в Н.
Источник: Сборник «Отличный Результат 2026»
Способ 1
1. Второй закон Ньютона для бруска:
$\vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$
2. Брусок покоится, значит $a = 0$. Оси направим вдоль наклонной плоскости ($Ox$) и перпендикулярно ей ($Oy$):
$Ox: ; F_{\text{тр}} - mg\sin\alpha = 0$
$Oy: ; N - mg\cos\alpha = 0$
3. Отсюда:
$\sin\alpha = \dfrac{F_{\text{тр}}}{mg}$, $\quad \cos\alpha = \dfrac{N}{mg}$
4. Подставляем в основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\dfrac{F_{\text{тр}}}{mg}\right)^2 + \left(\dfrac{N}{mg}\right)^2 = 1$
$F_{\text{тр}}^2 + N^2 = (mg)^2$
5. Силы $\vec{F}{\text{тр}}$ и $\vec{N}$ перпендикулярны, поэтому модуль их равнодействующей равен $\sqrt{F{\text{тр}}^2 + N^2}$:
$|\vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N}| = \sqrt{(mg)^2} = mg = 4 \cdot 10 = 40$ Н
Способ 2 (короткий)
1. Брусок покоится, поэтому сумма всех сил равна нулю:
$\vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} + m\vec{g} = 0$
2. Переносим силу тяжести вправо:
$\vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} = -m\vec{g}$
3. Равнодействующая двух сил равна силе тяжести по модулю и противоположна ей по направлению:
$|\vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N}| = |-m\vec{g}| = mg = 4 \cdot 10 = 40$ Н
Ответ: 40