ID: 00026521
В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания (1→2), изохорного охлаждения (2→3) и адиабатного сжатия (3→1) (см. рисунок). Работа газа $A_{12}$ в изобарном процессе в 2 раза больше работы $A_{31}^{/}$, совершённой над газом при адиабатном сжатии. Найдите КПД этой тепловой машины. Масса газа остаётся постоянной.
Источник: ФИПИ
Посмотрим на цикл. На диаграмме $p$–$V$ участок 1–2 — горизонтальный отрезок вправо: давление постоянно, объём растёт, газ нагревается и расширяется. Участок 2–3 — вертикальный отрезок вниз: объём постоянен, давление падает, газ охлаждается. Участок 3–1 — плавная кривая, по которой газ сжимают без теплообмена (адиабата). Никаких чисел в условии нет — только связь $A_{12}=2A'_{31}$, поэтому всё будем выражать через одну букву.
Шаг 1 — введём обозначение. Пусть работа газа на изобаре равна $A_{12}=A$. Тогда работа внешних сил при адиабатном сжатии $A'_{31}=\dfrac{A}{2}$.
Шаг 2 — адиабата 3–1. Адиабатный процесс идёт без теплообмена: $Q_{31}=0$. Первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A_{газа}$ превращается в $0=\Delta U_{31}+A_{31}$, где работа самого газа при сжатии отрицательна и равна $A_{31}=-A'_{31}$. Значит, $$\Delta U_{31}=A'_{31}=\dfrac{A}{2}:$$ вся работа внешних сил ушла во внутреннюю энергию, газ нагрелся.
Шаг 3 — изобара 1–2. Здесь работа газа $A_{12}=p\Delta V=\nu R\Delta T_{12}=A$, а изменение внутренней энергии одноатомного газа $\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R\Delta T_{12}=\dfrac{3}{2}A$. По первому закону $$Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=\dfrac{3}{2}A+A=\dfrac{5}{2}A.$$ Эта теплота положительна — именно её газ получает от нагревателя.
Шаг 4 — изохора 2–3. Объём не меняется, работы нет, значит $Q_{23}=\Delta U_{23}$. Найдём это изменение из того, что за полный цикл внутренняя энергия возвращается к исходной: $\Delta U_{12}+\Delta U_{23}+\Delta U_{31}=0$, откуда $$\Delta U_{23}=-\left(\dfrac{3}{2}A+\dfrac{1}{2}A\right)=-2A.$$ Теплота отрицательна: на этом участке газ отдаёт тепло холодильнику, как и положено при охлаждении.
Шаг 5 — работа за цикл и КПД. Работа газа за цикл — это сумма работ по участкам: $$A_{ц}=A_{12}+0+A_{31}=A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}.$$ От нагревателя газ получил только $Q_{12}=\dfrac{5}{2}A$, поэтому $$\eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}=\dfrac{\tfrac{A}{2}}{\tfrac{5}{2}A}=\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\%.$$
Проверим баланс. Сумма всех теплот: $\dfrac{5}{2}A+(-2A)+0=\dfrac{A}{2}$ — ровно работа за цикл, как и требует первый закон для замкнутого цикла. И заметь красивую деталь: сама буква $A$ сократилась, поэтому конкретные числа в условии и не нужны — КПД такого цикла определяется одной лишь заданной пропорцией.
Почему такая модель. Газ идеальный и одноатомный, поэтому его внутренняя энергия равна $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$, а на изобаре работа выражается через ту же комбинацию $\nu R\Delta T$ — это и позволяет связать $\Delta U_{12}$ с $A_{12}$ множителем $\dfrac{3}{2}$ без всяких чисел. Первый закон термодинамики применяем к каждому участку, а для замкнутого цикла пользуемся тем, что внутренняя энергия — функция состояния: обойдя цикл, газ возвращается в исходное состояние, и суммарное $\Delta U$ равно нулю. По определению КПД теплового двигателя в знаменатель идёт только полученная теплота, а отданная в него не входит.