Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026516

Сначала прочитаем график. По осям отложены объём и абсолютная температура, и на графике отмечены четыре точки: 1 — это $(T_0;V_0)$, 2 — $(6T_0;V_0)$, 3 — $(6T_0;3V_0)$, 4 — $(3T_0;3V_0)$. Значит, участок 1–2 идёт при постоянном объёме $V_0$ (изохорный нагрев), участок 2–3 — при постоянной температуре $6T_0$ (изотермическое расширение), участок 3–4 — снова при постоянном объёме $3V_0$ (изохорное охлаждение), а участок 4–1 лежит на прямой, продолжение которой проходит через начало координат, то есть $\dfrac{V}{T}=\text{const}$ — это изобарное сжатие.

Шаг 1 — находим давление в каждой точке. Газа ровно один моль, поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона даёт $p=\dfrac{RT}{V}$. Обозначим $p_0=\dfrac{RT_0}{V_0}$. Тогда: $p_1=\dfrac{RT_0}{V_0}=p_0$; $p_2=\dfrac{R\cdot 6T_0}{V_0}=6p_0$; $p_3=\dfrac{R\cdot 6T_0}{3V_0}=2p_0$; $p_4=\dfrac{R\cdot 3T_0}{3V_0}=p_0$. Обрати внимание: $p_4=p_1$ — это и подтверждает, что 4–1 действительно изобара.

Шаг 2 — работа внешних сил на участке 4–1. Здесь давление постоянно и равно $p_0$, а объём уменьшается с $3V_0$ до $V_0$. Работа газа при постоянном давлении равна $A=p\Delta V$: $$A_{41}=p_0(V_0-3V_0)=-2p_0V_0=-2RT_0.$$ Она отрицательна, потому что газ сжимают. Работа внешних сил над газом по модулю такая же, но положительна: $|A'_{41}|=2RT_0$.

Шаг 3 — работа газа на участке 2–3. Это изотерма при $T=6T_0$: газ расширяется от $V_0$ до $3V_0$. Внутренняя энергия при постоянной температуре не меняется, поэтому вся подведённая теплота уходит в работу, и работа положительна. Численно она равна площади под изотермой на диаграмме $p$–$V$: $A_{23}=RT\ln\dfrac{V_3}{V_2}=6RT_0\ln3\approx 6{,}6RT_0$.

Шаг 4 — сравниваем. $$\dfrac{|A_{23}|}{|A'_{41}|}=\dfrac{6RT_0\ln3}{2RT_0}=3\ln3\approx 3{,}3.$$ Работа газа при изотермическом расширении примерно в $3{,}3$ раза больше работы внешних сил при изобарном сжатии.

Как сравнить их без логарифма (так надёжнее на экзамене). Оба процесса идут между одними и теми же объёмами $V_0$ и $3V_0$, значит работы — это площади под соответствующими линиями на диаграмме $p$–$V$ над одинаковым интервалом объёмов. На изотерме 2–3 давление нигде не опускается ниже своего конечного значения $p_3=2p_0$, а изобара 4–1 идёт при $p_0$ — то есть вдвое ниже. Раз давление на всём интервале как минимум вдвое больше, то и площадь как минимум вдвое больше: $|A_{23}|\gt 2|A'_{41}|$. Вывод «работа газа в 2–3 больше» получается строго и без вычислений.

Шаг 5 — цикл в координатах $p$–$V$. Пользуемся давлениями из шага 1. Участок 1–2 (изохора, $V=V_0$): вертикальный отрезок вверх от $p_0$ до $6p_0$. Участок 2–3 (изотерма при $6T_0$): плавная кривая — ветвь гиперболы $p=\dfrac{6RT_0}{V}$ — из точки $(V_0;6p_0)$ в точку $(3V_0;2p_0)$. Участок 3–4 (изохора, $V=3V_0$): вертикальный отрезок вниз от $2p_0$ до $p_0$. Участок 4–1 (изобара, $p=p_0$): горизонтальный отрезок влево от $3V_0$ до $V_0$. Замкнутая фигура обходится по часовой стрелке — значит, за цикл газ совершает положительную работу, как и положено тепловому двигателю.

Почему такая модель. Газ считаем идеальным, поэтому в любой точке цикла давление, объём и температура связаны уравнением Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$ — именно оно и переводит график из осей $V$–$T$ в оси $p$–$V$. Работа газа в термодинамике — это площадь под графиком процесса на диаграмме $p$–$V$; для изобары она считается элементарно ($A=p\Delta V$), для изотермы — как площадь под гиперболой. На изохорах работа равна нулю, ведь объём не меняется. Для изотермы дополнительно полезен первый закон термодинамики: при $T=\text{const}$ внутренняя энергия идеального газа постоянна, поэтому $Q=A$.