ID: 00026516
Один моль гелия участвует в циклическом процессе 1–2–3–4–1, график которого изображён на рисунке в координатах V – T , где V – объём газа, Т – абсолютная температура. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, сравните модуль работы газа в процессе 2–3 и модуль работы внешних сил в процессе 4–1. Постройте график цикла в координатах p–V , где р – давление газа, V – объём газа.
Источник: ФИПИ
Сначала прочитаем график. По осям отложены объём и абсолютная температура, и на графике отмечены четыре точки: 1 — это (T_0;V_0), 2 — (6T_0;V_0), 3 — (6T_0;3V_0), 4 — (3T_0;3V_0). Значит, участок 1–2 идёт при постоянном объёме V_0 (изохорный нагрев), участок 2–3 — при постоянной температуре 6T_0 (изотермическое расширение), участок 3–4 — снова при постоянном объёме 3V_0 (изохорное охлаждение), а участок 4–1 лежит на прямой, продолжение которой проходит через начало координат, то есть \dfrac{V}{T}=\text{const} — это изобарное сжатие.
Шаг 1 — находим давление в каждой точке. Газа ровно один моль, поэтому уравнение Менделеева — Клапейрона даёт p=\dfrac{RT}{V}. Обозначим p_0=\dfrac{RT_0}{V_0}. Тогда: p_1=\dfrac{RT_0}{V_0}=p_0; p_2=\dfrac{R\cdot 6T_0}{V_0}=6p_0; p_3=\dfrac{R\cdot 6T_0}{3V_0}=2p_0; p_4=\dfrac{R\cdot 3T_0}{3V_0}=p_0. Обрати внимание: p_4=p_1 — это и подтверждает, что 4–1 действительно изобара.
Шаг 2 — работа внешних сил на участке 4–1. Здесь давление постоянно и равно p_0, а объём уменьшается с 3V_0 до V_0. Работа газа при постоянном давлении равна A=p\Delta V: A_{41}=p_0(V_0-3V_0)=-2p_0V_0=-2RT_0. Она отрицательна, потому что газ сжимают. Работа внешних сил над газом по модулю такая же, но положительна: |A'_{41}|=2RT_0.
Шаг 3 — работа газа на участке 2–3. Это изотерма при T=6T_0: газ расширяется от V_0 до 3V_0. Внутренняя энергия при постоянной температуре не меняется, поэтому вся подведённая теплота уходит в работу, и работа положительна. Численно она равна площади под изотермой на диаграмме p–V: A_{23}=RT\ln\dfrac{V_3}{V_2}=6RT_0\ln3\approx 6{,}6RT_0.
Шаг 4 — сравниваем. \dfrac{|A_{23}|}{|A'_{41}|}=\dfrac{6RT_0\ln3}{2RT_0}=3\ln3\approx 3{,}3. Работа газа при изотермическом расширении примерно в 3{,}3 раза больше работы внешних сил при изобарном сжатии.
Как сравнить их без логарифма (так надёжнее на экзамене). Оба процесса идут между одними и теми же объёмами V_0 и 3V_0, значит работы — это площади под соответствующими линиями на диаграмме p–V над одинаковым интервалом объёмов. На изотерме 2–3 давление нигде не опускается ниже своего конечного значения p_3=2p_0, а изобара 4–1 идёт при p_0 — то есть вдвое ниже. Раз давление на всём интервале как минимум вдвое больше, то и площадь как минимум вдвое больше: |A_{23}|\gt 2|A'_{41}|. Вывод «работа газа в 2–3 больше» получается строго и без вычислений.
Шаг 5 — цикл в координатах p–V. Пользуемся давлениями из шага 1. Участок 1–2 (изохора, V=V_0): вертикальный отрезок вверх от p_0 до 6p_0. Участок 2–3 (изотерма при 6T_0): плавная кривая — ветвь гиперболы p=\dfrac{6RT_0}{V} — из точки (V_0;6p_0) в точку (3V_0;2p_0). Участок 3–4 (изохора, V=3V_0): вертикальный отрезок вниз от 2p_0 до p_0. Участок 4–1 (изобара, p=p_0): горизонтальный отрезок влево от 3V_0 до V_0. Замкнутая фигура обходится по часовой стрелке — значит, за цикл газ совершает положительную работу, как и положено тепловому двигателю.
Почему такая модель. Газ считаем идеальным, поэтому в любой точке цикла давление, объём и температура связаны уравнением Менделеева — Клапейрона pV=\nu RT — именно оно и переводит график из осей V–T в оси p–V. Работа газа в термодинамике — это площадь под графиком процесса на диаграмме p–V; для изобары она считается элементарно (A=p\Delta V), для изотермы — как площадь под гиперболой. На изохорах работа равна нулю, ведь объём не меняется. Для изотермы дополнительно полезен первый закон термодинамики: при T=\text{const} внутренняя энергия идеального газа постоянна, поэтому Q=A.