Циклы, Тепловые… — Задание 24 ЕГЭ по физике №00026517

Посмотрим на диаграмму. Цикл нарисован в осях $p$–$V$ и представляет собой прямоугольник: точка 1 — это $(V_0;3p_0)$, точка 2 — $(5V_0;3p_0)$, точка 3 — $(5V_0;p_0)$, точка 4 — $(V_0;p_0)$. Обход идёт по часовой стрелке: 1–2 — изобарное расширение при давлении $3p_0$, 2–3 — изохорное охлаждение, 3–4 — изобарное сжатие при давлении $p_0$, 4–1 — изохорный нагрев.

Шаг 1 — что такое КПД. Коэффициент полезного действия теплового двигателя — это доля полученного от нагревателя тепла, которая превратилась в полезную работу: $$\eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}},$$ где $A_{ц}$ — работа газа за цикл, а $Q_{н}$ — суммарная теплота, полученная от нагревателя. Величина $Q_{н}=3{,}3$ кДж в условии уже дана, значит вся работа — найти $A_{ц}$.

Шаг 2 — «расшифровываем» данные через клетки графика. Работа газа при постоянном давлении равна $A=p\Delta V$. На участке 1–2 давление $3p_0$, а объём растёт с $V_0$ до $5V_0$, то есть на $4V_0$: $$A_{12}=3p_0\cdot 4V_0=12\,p_0V_0=1{,}2\ \text{кДж}.$$ Отсюда сразу находим «цену клетки»: $p_0V_0=\dfrac{1{,}2}{12}=0{,}1$ кДж.

Шаг 3 — работа за цикл. На диаграмме $p$–$V$ работа газа за цикл равна площади фигуры внутри цикла (при обходе по часовой стрелке она положительна). Здесь фигура — прямоугольник со сторонами $\Delta p=3p_0-p_0=2p_0$ и $\Delta V=5V_0-V_0=4V_0$: $$A_{ц}=2p_0\cdot 4V_0=8\,p_0V_0=8\cdot 0{,}1=0{,}8\ \text{кДж}.$$

Если площадь считать не хочется, можно сложить работы по участкам: на изохорах 2–3 и 4–1 объём не меняется, поэтому работа равна нулю; на изобаре 1–2 газ совершает $+12p_0V_0$, на изобаре 3–4 газ сжимают, и он совершает $-p_0\cdot 4V_0=-4p_0V_0$. В сумме $12p_0V_0-4p_0V_0=8p_0V_0$ — тот же результат.

Шаг 4 — считаем КПД. $$\eta=\dfrac{A_{ц}}{Q_{н}}=\dfrac{0{,}8}{3{,}3}\approx 0{,}24.$$ То есть примерно $24\%$.

Прикинем, разумно ли это. Больше трети тепла двигатель отдаёт холодильнику на участках 2–3 и 3–4, поэтому КПД в четверть — совершенно обычное значение для такого прямоугольного цикла. И обрати внимание: значения $p_0$ и $V_0$ по отдельности так и остались неизвестны — они и не нужны, всё решилось через их произведение.

Почему такая модель. Газ идеальный, масса его постоянна, цикл замкнут — значит, за цикл внутренняя энергия возвращается к исходному значению, $\Delta U=0$, и по первому закону термодинамики вся суммарная теплота превращается в работу. Определение КПД теплового двигателя требует брать в знаменатель именно теплоту, полученную от нагревателя (в нашем цикле это участки 4–1 и 1–2), а она дана в условии готовой. Работа газа при изобарном процессе равна $p\Delta V$, на изохорах работа равна нулю, а геометрически работа за цикл — площадь внутри замкнутой кривой на диаграмме $p$–$V$. Заметь: конкретный сорт газа (одноатомный он или нет) здесь роли не играет, потому что теплоту нагревателя нам дали, а не считали.