ID: 00026582
Вольтамперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями U 1 = α I 2 , U 2 = 3 α I 2 , U 3 = 6 α I 2 , где α – некоторая известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 – последовательно c ними (см. рисунок). Определите зависимость напряжения от силы тока, текущего через такой участок цепи, если токи через лампы таковы, что выполняются вышеуказанные квадратичные зависимости.
Источник: ФИПИ
Лампы здесь не подчиняются закону Ома: напряжение растёт не пропорционально току, а как его квадрат. Поэтому привычные правила «сопротивления складываются» тут не работают — но два фундаментальных правила соединений остаются в силе: при последовательном соединении одинаков ток, при параллельном — напряжение. На них и построим решение.
Шаг 1 — что известно про схему. Лампа Л1 включена последовательно с парой Л2 и Л3, а те соединены параллельно друг с другом. Пусть $I$ — ток в неразветвлённой части участка; он же течёт через Л1. В узле он делится: $$I=I_{2}+I_{3},$$ где $I_{2}$ и $I_{3}$ — токи через Л2 и Л3.
Шаг 2 — условие параллельности. Напряжения на Л2 и Л3 одинаковы: $$3\alpha I_{2}^{2}=6\alpha I_{3}^{2}\quad\Rightarrow\quad I_{2}^{2}=2I_{3}^{2}\quad\Rightarrow\quad I_{2}=\sqrt{2}\,I_{3}.$$ Логично: у Л3 «сопротивление» вдвое больше, поэтому через неё идёт меньший ток.
Шаг 3 — выражаем токи через $I$. Подставим в закон узла: $$I=\sqrt{2}\,I_{3}+I_{3}=I_{3}\left(\sqrt{2}+1\right)\quad\Rightarrow\quad I_{3}=\frac{I}{\sqrt{2}+1}=I\left(\sqrt{2}-1\right),$$ где мы домножили на сопряжённое: $\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=\sqrt{2}-1$.
Шаг 4 — напряжение на параллельном куске. Возьмём его по лампе Л3: $$U_{пар}=6\alpha I_{3}^{2}=6\alpha I^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}=6\alpha I^{2}\left(3-2\sqrt{2}\right)=\alpha I^{2}\left(18-12\sqrt{2}\right).$$ Здесь использовано $\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$.
Шаг 5 — напряжение на всём участке. Последовательное соединение: напряжения складываются, а на Л1 напряжение равно $U_{1}=\alpha I^{2}$. Значит, $$U=U_{1}+U_{пар}=\alpha I^{2}+\alpha I^{2}\left(18-12\sqrt{2}\right)=\left(19-12\sqrt{2}\right)\alpha I^{2}.$$ Численно $12\sqrt{2}\approx16{,}97$, поэтому $$U\approx2{,}03\,\alpha I^{2}.$$
Проверим себя через вторую лампу: $I_{2}=\sqrt{2}I_{3}=I\left(2-\sqrt{2}\right)$, и $U_{пар}=3\alpha I_{2}^{2}=3\alpha I^{2}\left(6-4\sqrt{2}\right)=\alpha I^{2}\left(18-12\sqrt{2}\right)$ — то же самое. И сумма токов: $\left(2-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}-1\right)=1$, то есть $I_{2}+I_{3}=I$, как и должно быть. Заодно видно главное качественное свойство: зависимость всего участка тоже квадратичная, $U\sim I^{2}$, только с новым коэффициентом.
Почему модель именно такая. Вольт-амперные характеристики ламп нелинейные, поэтому понятие постоянного сопротивления к ним неприменимо и складывать «омы» нельзя. Зато остаются справедливыми фундаментальные утверждения: закон сохранения заряда в узле (сумма токов ветвей равна току в неразветвлённой части) и условия соединений — при параллельном соединении напряжения на ветвях равны, при последовательном складываются напряжения, а ток один и тот же. Эти два правила плюс заданные вольт-амперные характеристики полностью определяют ответ. Условие про «достаточно большие токи» нужно как раз для того, чтобы квадратичные зависимости были применимы во всём рассматриваемом диапазоне.