Задание ЕГЭ по физике: В цепи, изображённой на рисунке, сопротивление диода в прямом…
№2. Задание без номера
ID: 00026573
В цепи, изображённой на рисунке, сопротивление диода в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном – многократно превышает сопротивление резисторов. При подключении к точке А положительного, а к точке В – отрицательного полюса батареи с ЭДС 12 В и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением потребляемая мощность (тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи) равна 7,2 Вт. При изменении полярности подключения батареи потребляемая мощность равна 21,6 Вт.
Укажите для обоих случаев подключения батареи, протекает ли ток через диод и каждый из резисторов или нет, и определите сопротивления резисторов в этой цепи.
Источник: ФИПИ
Решение
Хитрость этой цепи в том, что диод стоит не рядом с резистором, а на пути ко второму резистору. От точки A цепь сразу разветвляется: вниз уходит R_{1}, а вправо — диод, за которым вниз идёт R_{2}. Пока диод заперт, ветвь с R_{2} мертва и работает один R_{1}. Откроем диод сменой полярности — и R_{2} подключится параллельно R_{1}, сопротивление внешней цепи упадёт, а мощность подскочит. Как раз это и видно из чисел: 21{,}6 Вт больше, чем 7{,}2 Вт.
Шаг 1 — куда пропускает диод. На схеме треугольник диода направлен остриём влево, к точке A: значит, ток через него может течь только справа налево, то есть от верха R_{2} к точке A.
Шаг 2 — первое подключение: «плюс» на A. Ток во внешней цепи идёт от A внутрь схемы. Попасть в ветвь R_{2} он мог бы только через диод слева направо — а это запрещённое направление, обратное сопротивление диода огромно, ветвь фактически разорвана. Остаётся единственный путь: через R_{1} вниз и к точке B. Значит, при первом подключении работает только R_{1}: P_{1}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{R_{1}}\quad\Rightarrow\quad R_{1}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{P_{1}}=\frac{12^{2}}{7{,}2}=\frac{144}{7{,}2}=20\ \text{Ом}. Внутренним сопротивлением батареи пренебрегаем, поэтому напряжение между A и B равно \mathcal{E}.
Шаг 3 — второе подключение: «плюс» на B. Теперь ток идёт снизу вверх. Он поднимается и через R_{1}, и через R_{2}; во второй ветви он доходит до диода как раз в разрешённом направлении (справа налево, к A), диод открыт, его сопротивление пренебрежимо мало. Значит, оба резистора оказываются подключёнными к одному и тому же напряжению \mathcal{E} — они работают как параллельные.
Шаг 4 — считаем параллельное сопротивление. P_{2}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{R_{пар}}\quad\Rightarrow\quad R_{пар}=\frac{144}{21{,}6}=\frac{20}{3}\approx6{,}67\ \text{Ом}.
Шаг 5 — вытаскиваем R_{2}. Для параллельного соединения \dfrac{1}{R_{пар}}=\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}, поэтому \frac{1}{R_{2}}=\frac{1}{R_{пар}}-\frac{1}{R_{1}}=\frac{3}{20}-\frac{1}{20}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}, то есть R_{2}=10 Ом.
Проверим: параллельно 20 Ом и 10 Ом дают \dfrac{20\cdot10}{30}=\dfrac{20}{3} Ом, и мощность \dfrac{144}{20/3}=21{,}6 Вт — совпадает с условием. Можно и иначе: во втором случае к прежней мощности 7{,}2 Вт на R_{1} добавилась мощность \dfrac{144}{10}=14{,}4 Вт на R_{2}, вместе как раз 21{,}6 Вт.
Почему модель именно такая. Диод описывается идеализированно: в прямом направлении его сопротивление пренебрежимо мало (ветвь — просто провод), в обратном — многократно больше сопротивления резисторов, поэтому ветвь считается разорванной и ток по ней не идёт. Напряжение на участке A—B равно ЭДС, так как внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало (закон Ома для полной цепи). Мощность считается по закону Джоуля — Ленца в форме P=\dfrac{U^{2}}{R}, а для двух ветвей под одинаковым напряжением применимо правило параллельного соединения: складываются величины, обратные сопротивлениям.
Ответ
R_{1}=20 Ом, R_{2}=10 Ом. При «плюсе» на A диод заперт: ток идёт только через R_{1}, через диод и R_{2} тока нет. При обратной полярности диод открыт: ток идёт и через R_{1}, и через R_{2} (они работают как параллельные)