ID: 00016989
Дана электрическая цепь из нескольких резисторов с одинаковыми сопротивлениями R, идеального диода Д, источника питания с постоянной ЭДС \varepsilon и малым внутренним сопротивлением, идеального амперметра A и переключателя П полярности источника питания.
Схема устроена так. Источник через амперметр и переключатель полярности П подаёт напряжение на два входных узла «мост-схемы» — верхний (B) и нижний (D). От верхнего узла B идут два пути к нижнему узлу D: левый и правый. Левая ветвь: от B вниз через резистор R к среднему левому узлу M, затем через резистор R к нижнему узлу D. Правая ветвь: от B через верхний горизонтальный резистор R к верхнему правому узлу, затем вниз через резистор R к среднему правому узлу N, затем через резистор R к нижнему узлу D. Между средними узлами M и N включён идеальный диод Д, пропускающий ток в направлении от M к N. Переключатель П меняет местами «плюс» и «минус» источника (меняет полярность на входе B–D).
Во сколько раз изменится сила тока I через амперметр после перевода переключателя в другое положение?
Источник: ФИПИ
Пять одинаковых резисторов R; идеальный диод Д (направление пропускания M\toN); источник с ЭДС \varepsilon и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением; амперметр в общей цепи измеряет полный ток.
\dfrac{I_2}{I_1} — во сколько раз изменится ток после перекидывания переключателя
Идеальный диод — как турникет в метро: в «свою» сторону пропускает свободно (ведёт себя как кусок провода), а в обратную — глухая стена (ток ноль). Поэтому весь фокус задачи в том, открыт диод или закрыт, а это зависит от того, какой узел оказался «плюсом». Переключатель полярности как раз и меняет, куда подан плюс.
Введём обозначения узлов: B — верхний вход, D — нижний вход, M — средний узел слева, N — средний узел справа. Пусть U=\varepsilon — напряжение на входе (внутреннее сопротивление мало). Сравнивать потенциалы M и N удобно, временно «выключив» диод и посчитав делители напряжения.
Положение 1. Плюс на B, минус на D (V_B=U, V_D=0). Левая ветвь B–M–D — два равных резистора, поэтому V_M=\tfrac{U}{2}. Правая ветвь B–(верх)–N–D — три равных резистора, и узел N снят после двух из них от B, то есть V_N=\tfrac{U}{3}. Значит V_M\gt V_N — диод открыт (M\toN), работает как провод и замыкает M и N в один узел.
Считаем сопротивление при закороченных M=N. Между B и этим узлом: слева резистор R, а справа последовательно верхний R и правый верхний R (итого 2R); параллельно \dfrac{R\cdot2R}{R+2R}=\dfrac{2R}{3}. Между узлом M=N и D — два резистора параллельно: \dfrac{R}{2}. Полное сопротивление R_1=\dfrac{2R}{3}+\dfrac{R}{2}=\dfrac{7R}{6}, ток I_1=\dfrac{U}{R_1}=\dfrac{6U}{7R}.
Положение 2. Переключатель поменял полярность: плюс на D, минус на B (V_D=U, V_B=0). Теперь снова сравним: по левой ветви V_M=\tfrac{U}{2}, по правой V_N=\tfrac{2U}{3}. Получается V_M\lt V_N — диод заперт, ток через него не идёт, перемычки между M и N нет.
Тогда две ветви просто включены параллельно: левая B–M–D даёт 2R, правая B–N–D даёт 3R. Полное сопротивление R_2=\dfrac{2R\cdot3R}{2R+3R}=\dfrac{6R}{5}, ток I_2=\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{5U}{6R}.
Сравниваем токи:
\frac{I_2}{I_1}=\frac{5U/6R}{6U/7R}=\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}=\frac{35}{36}\approx0{,}97.
То есть после переключения ток через амперметр уменьшается до \tfrac{35}{36}\approx0{,}97 от прежнего (в положении 1 диод открыт и «подбрасывает» лишний путь для тока, поэтому ток там чуть больше).
Сила тока уменьшится в \dfrac{36}{35} раза, то есть станет равной \dfrac{35}{36}\approx0{,}97 от первоначальной.