ID: 00016989
Дана электрическая цепь из нескольких резисторов с одинаковыми сопротивлениями $R$, идеального диода Д, источника питания с постоянной ЭДС $\varepsilon$ и малым внутренним сопротивлением, идеального амперметра $A$ и переключателя $П$ полярности источника питания.
Схема устроена так. Источник через амперметр и переключатель полярности $П$ подаёт напряжение на два входных узла «мост-схемы» — верхний (B) и нижний (D). От верхнего узла B идут два пути к нижнему узлу D: левый и правый. Левая ветвь: от B вниз через резистор $R$ к среднему левому узлу M, затем через резистор $R$ к нижнему узлу D. Правая ветвь: от B через верхний горизонтальный резистор $R$ к верхнему правому узлу, затем вниз через резистор $R$ к среднему правому узлу N, затем через резистор $R$ к нижнему узлу D. Между средними узлами M и N включён идеальный диод Д, пропускающий ток в направлении от M к N. Переключатель $П$ меняет местами «плюс» и «минус» источника (меняет полярность на входе B–D).
Во сколько раз изменится сила тока $I$ через амперметр после перевода переключателя в другое положение?
Источник: ФИПИ
Пять одинаковых резисторов $R$; идеальный диод Д (направление пропускания M$\to$N); источник с ЭДС $\varepsilon$ и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением; амперметр в общей цепи измеряет полный ток.
$\dfrac{I_2}{I_1}$ — во сколько раз изменится ток после перекидывания переключателя
Идеальный диод — как турникет в метро: в «свою» сторону пропускает свободно (ведёт себя как кусок провода), а в обратную — глухая стена (ток ноль). Поэтому весь фокус задачи в том, открыт диод или закрыт, а это зависит от того, какой узел оказался «плюсом». Переключатель полярности как раз и меняет, куда подан плюс.
Введём обозначения узлов: B — верхний вход, D — нижний вход, M — средний узел слева, N — средний узел справа. Пусть $U=\varepsilon$ — напряжение на входе (внутреннее сопротивление мало). Сравнивать потенциалы $M$ и $N$ удобно, временно «выключив» диод и посчитав делители напряжения.
Положение 1. Плюс на B, минус на D ($V_B=U$, $V_D=0$). Левая ветвь B–M–D — два равных резистора, поэтому $V_M=\tfrac{U}{2}$. Правая ветвь B–(верх)–N–D — три равных резистора, и узел N снят после двух из них от B, то есть $V_N=\tfrac{U}{3}$. Значит $V_M\gt V_N$ — диод открыт (M$\to$N), работает как провод и замыкает M и N в один узел.
Считаем сопротивление при закороченных M=N. Между B и этим узлом: слева резистор $R$, а справа последовательно верхний $R$ и правый верхний $R$ (итого $2R$); параллельно $\dfrac{R\cdot2R}{R+2R}=\dfrac{2R}{3}$. Между узлом M=N и D — два резистора параллельно: $\dfrac{R}{2}$. Полное сопротивление $R_1=\dfrac{2R}{3}+\dfrac{R}{2}=\dfrac{7R}{6}$, ток $I_1=\dfrac{U}{R_1}=\dfrac{6U}{7R}$.
Положение 2. Переключатель поменял полярность: плюс на D, минус на B ($V_D=U$, $V_B=0$). Теперь снова сравним: по левой ветви $V_M=\tfrac{U}{2}$, по правой $V_N=\tfrac{2U}{3}$. Получается $V_M\lt V_N$ — диод заперт, ток через него не идёт, перемычки между M и N нет.
Тогда две ветви просто включены параллельно: левая $B$–$M$–$D$ даёт $2R$, правая $B$–$N$–$D$ даёт $3R$. Полное сопротивление $R_2=\dfrac{2R\cdot3R}{2R+3R}=\dfrac{6R}{5}$, ток $I_2=\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{5U}{6R}$.
Сравниваем токи:
$$\frac{I_2}{I_1}=\frac{5U/6R}{6U/7R}=\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}=\frac{35}{36}\approx0{,}97.$$
То есть после переключения ток через амперметр уменьшается до $\tfrac{35}{36}\approx0{,}97$ от прежнего (в положении 1 диод открыт и «подбрасывает» лишний путь для тока, поэтому ток там чуть больше).
Сила тока уменьшится в $\dfrac{36}{35}$ раза, то есть станет равной $\dfrac{35}{36}\approx0{,}97$ от первоначальной.