ID: 00026561
В цепи, изображённой на рисунке, сопротивление диода в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном многократно превышает сопротивление резисторов. При подключении к точке А положительного полюса, а к точке В отрицательного полюса батареи с ЭДС 12 В и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением потребляемая мощность равна 14,4 Вт. При изменении полярности подключения батареи потребляемая мощность оказалась равной 7,2 Вт. Укажите, как течёт ток через диоды и резисторы в обоих случаях, и определите сопротивления резисторов в этой цепи.
Источник: ФИПИ
Идея этой схемы — «переключатель без переключателя». Каждый резистор зашунтирован своим диодом, а диод пропускает ток только в одну сторону. Поменяли полярность батареи — и роли резисторов поменялись: тот, что работал, оказался закороченным, а закороченный включился в работу. Наша задача — понять, кто работает в каждом случае, и по мощностям найти сопротивления.
Шаг 1 — читаем схему. От точки A идёт резистор $R_{1}$, параллельно ему стоит диод, у которого треугольник направлен влево, то есть в сторону A: этот диод пропускает ток только справа налево, от общего узла к точке A. Дальше от узла вниз, к нижнему проводу (к точке B), идут две параллельные ветви: резистор $R_{2}$ и второй диод, у которого треугольник смотрит вниз, — он пропускает ток только сверху вниз.
Шаг 2 — первое подключение: на A «плюс», на B «минус». Ток во внешней цепи течёт от «плюса» через схему к «минусу», то есть от A направо и затем вниз. Первый диод для такого направления заперт (он пропускает только к A), значит ток идёт через резистор $R_{1}$. А второй диод как раз открыт «сверху вниз» — его сопротивление в прямом направлении пренебрежимо мало, и он закорачивает $R_{2}$: весь ток пойдёт по диоду, а не по резистору. Итого цепь — это просто $R_{1}$.
Шаг 3 — мощность в первом случае. Внутренним сопротивлением батареи пренебрегаем, значит на участке A—B напряжение равно $\mathcal{E}=12$ В, и $$P_{1}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{R_{1}}\quad\Rightarrow\quad R_{1}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{P_{1}}=\frac{12^{2}}{14{,}4}=\frac{144}{14{,}4}=10\ \text{Ом}.$$
Шаг 4 — второе подключение: на B «плюс», на A «минус». Теперь ток течёт снизу вверх и дальше к A. Второй диод для направления «снизу вверх» заперт, поэтому ток вынужден идти через $R_{2}$. Зато первый диод открыт (ток как раз идёт к точке A) и закорачивает $R_{1}$. Цепь сводится к одному $R_{2}$.
Шаг 5 — мощность во втором случае. $$P_{2}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{R_{2}}\quad\Rightarrow\quad R_{2}=\frac{\mathcal{E}^{2}}{P_{2}}=\frac{144}{7{,}2}=20\ \text{Ом}.$$
Проверка получается красивая: мощность во втором случае ровно вдвое меньше первой, значит и сопротивление вдвое больше — $20$ Ом против $10$ Ом. Токи при этом $\dfrac{12}{10}=1{,}2$ А и $\dfrac{12}{20}=0{,}6$ А, а произведения $UI$ дают как раз $14{,}4$ Вт и $7{,}2$ Вт.
Почему модель именно такая. Диод описывается идеализированной моделью: в прямом направлении сопротивление пренебрежимо мало (участок с ним — «провод»), в обратном многократно больше сопротивления резисторов (ветвь считается разорванной). Отсюда правило параллельного соединения: если один из двух параллельных элементов имеет нулевое сопротивление, весь ток идёт по нему, а второй элемент оказывается закороченным и в работе не участвует. Дальше применяется закон Джоуля — Ленца в форме для мощности: $P=\dfrac{U^{2}}{R}$, причём $U=\mathcal{E}$, потому что внутренним сопротивлением батареи по условию пренебрегают.