ID: 00026304
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС ℰ и внутренним сопротивлением r и подключённого к ней резистора нагрузки с сопротивлением R . При изменении сопротивления нагрузки изменяется напряжение на ней и мощность в нагрузке. На рисунке представлен график зависимости мощности, выделяющейся на нагрузке, от напряжения на ней.
Используя известные Вам физические законы, объясните, почему данный график зависимости мощности от напряжения представляет собой параболу.
Источник: ФИПИ
Сначала разберись, что вообще меняется в этом опыте. Батарея одна и та же: её ЭДС \varepsilon и внутреннее сопротивление r — постоянные величины. Экспериментатор крутит только сопротивление нагрузки R. Вместе с R меняются сразу и ток в цепи, и напряжение на нагрузке, и выделяющаяся в ней мощность. На графике по горизонтальной оси откладывают напряжение на нагрузке, по вертикальной — мощность в ней; видно, что кривая выходит из начала координат, поднимается до 5 Вт при 3 В и снова опускается до нуля при 6 В.
Обоснуем модель. Нам нужна зависимость P от U, то есть надо избавиться от «лишней» переменной R. Сделать это позволяет закон Ома для полной цепи: он связывает напряжение на внешнем участке с током независимо от того, чему равно R. Мощность в нагрузке берём по определению мощности тока P=UI (это же значение даёт и закон Джоуля – Ленца для резистора). Именно потому, что \varepsilon и r постоянны, связь между P и U оказывается чисто квадратичной, а не какой-то произвольной.
Шаг 1 — выражаем ток через напряжение. Напряжение на клеммах батареи (оно же напряжение на нагрузке) равно U=\varepsilon-Ir. Отсюда I=\frac{\varepsilon-U}{r}. Обрати внимание: чем больше напряжение на нагрузке, тем меньше ток — эти две величины связаны линейно и «в противофазе».
Шаг 2 — подставляем в мощность. P=UI=U\cdot\frac{\varepsilon-U}{r}=\frac{\varepsilon U-U^{2}}{r}=-\frac{1}{r}U^{2}+\frac{\varepsilon}{r}U. Получилась зависимость вида P=aU^{2}+bU с a=-\dfrac{1}{r} и b=\dfrac{\varepsilon}{r}. Функция квадратичная, значит график — парабола, а поскольку коэффициент при U^{2} отрицательный, ветви параболы направлены вниз.
Шаг 3 — где парабола пересекает ось. Приравняем P=0: \dfrac{U(\varepsilon-U)}{r}=0, значит U=0 или U=\varepsilon. Первый случай — нагрузка закорочена (R=0): ток максимален, но напряжение на нагрузке нулевое, и мощность в ней не выделяется. Второй случай — цепь практически разомкнута (R очень велико): напряжение равно ЭДС, но ток нулевой, и мощности опять нет. Физика согласуется с математикой.
Шаг 4 — вершина параболы. Вершина лежит посередине между нулями, то есть при U=\dfrac{\varepsilon}{2}, и максимальная мощность P_\text{max}=\frac{\varepsilon}{2}\cdot\frac{\varepsilon-\dfrac{\varepsilon}{2}}{r}=\frac{\varepsilon^{2}}{4r}. Такое напряжение получается при R=r — это известное условие максимальной мощности в нагрузке.
Шаг 5 — сверимся с графиком. Кривая обращается в нуль при U=6 В, значит \varepsilon=6 В. Вершина приходится на U=3 В — ровно половина от 6 В, как и должно быть. Максимум равен 5 Вт, отсюда r=\frac{\varepsilon^{2}}{4P_\text{max}}=\frac{36}{20}=1{,}8\ \text{Ом}. Проверим: при U=3 В ток I=\dfrac{6-3}{1{,}8}\approx1{,}67 А, и мощность P=3\cdot1{,}67=5 Вт — всё сходится, график действительно является параболой, предсказанной законами постоянного тока.
Мощность в нагрузке равна P=UI, а сила тока однозначно связана с напряжением на нагрузке законом Ома для полной цепи: U=\varepsilon-Ir, откуда I=\dfrac{\varepsilon-U}{r}. Подставляя, получаем P=U\cdot\frac{\varepsilon-U}{r}=\frac{\varepsilon}{r}U-\frac{1}{r}U^{2}.
Это квадратичная функция напряжения с отрицательным коэффициентом при U^{2}, поэтому её график — парабола с ветвями вниз. Она пересекает ось напряжений в точках U=0 (нагрузка закорочена) и U=\varepsilon (цепь разомкнута), а максимум мощности P_\text{max}=\dfrac{\varepsilon^{2}}{4r} достигается посередине, при U=\dfrac{\varepsilon}{2}. Именно такую картину и показывает график: нули при 0 В и 6 В и максимум 5 Вт при 3 В, что соответствует \varepsilon=6 В и r=1{,}8 Ом.