ID: 00026304
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС ℰ и внутренним сопротивлением r и подключённого к ней резистора нагрузки с сопротивлением R . При изменении сопротивления нагрузки изменяется напряжение на ней и мощность в нагрузке. На рисунке представлен график зависимости мощности, выделяющейся на нагрузке, от напряжения на ней.
Используя известные Вам физические законы, объясните, почему данный график зависимости мощности от напряжения представляет собой параболу.
Источник: ФИПИ
Сначала разберись, что вообще меняется в этом опыте. Батарея одна и та же: её ЭДС $\varepsilon$ и внутреннее сопротивление $r$ — постоянные величины. Экспериментатор крутит только сопротивление нагрузки $R$. Вместе с $R$ меняются сразу и ток в цепи, и напряжение на нагрузке, и выделяющаяся в ней мощность. На графике по горизонтальной оси откладывают напряжение на нагрузке, по вертикальной — мощность в ней; видно, что кривая выходит из начала координат, поднимается до $5$ Вт при $3$ В и снова опускается до нуля при $6$ В.
Обоснуем модель. Нам нужна зависимость $P$ от $U$, то есть надо избавиться от «лишней» переменной $R$. Сделать это позволяет закон Ома для полной цепи: он связывает напряжение на внешнем участке с током независимо от того, чему равно $R$. Мощность в нагрузке берём по определению мощности тока $P=UI$ (это же значение даёт и закон Джоуля – Ленца для резистора). Именно потому, что $\varepsilon$ и $r$ постоянны, связь между $P$ и $U$ оказывается чисто квадратичной, а не какой-то произвольной.
Шаг 1 — выражаем ток через напряжение. Напряжение на клеммах батареи (оно же напряжение на нагрузке) равно $U=\varepsilon-Ir$. Отсюда $$I=\frac{\varepsilon-U}{r}.$$ Обрати внимание: чем больше напряжение на нагрузке, тем меньше ток — эти две величины связаны линейно и «в противофазе».
Шаг 2 — подставляем в мощность. $$P=UI=U\cdot\frac{\varepsilon-U}{r}=\frac{\varepsilon U-U^{2}}{r}=-\frac{1}{r}U^{2}+\frac{\varepsilon}{r}U.$$ Получилась зависимость вида $P=aU^{2}+bU$ с $a=-\dfrac{1}{r}$ и $b=\dfrac{\varepsilon}{r}$. Функция квадратичная, значит график — парабола, а поскольку коэффициент при $U^{2}$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.
Шаг 3 — где парабола пересекает ось. Приравняем $P=0$: $\dfrac{U(\varepsilon-U)}{r}=0$, значит $U=0$ или $U=\varepsilon$. Первый случай — нагрузка закорочена ($R=0$): ток максимален, но напряжение на нагрузке нулевое, и мощность в ней не выделяется. Второй случай — цепь практически разомкнута ($R$ очень велико): напряжение равно ЭДС, но ток нулевой, и мощности опять нет. Физика согласуется с математикой.
Шаг 4 — вершина параболы. Вершина лежит посередине между нулями, то есть при $U=\dfrac{\varepsilon}{2}$, и максимальная мощность $$P_\text{max}=\frac{\varepsilon}{2}\cdot\frac{\varepsilon-\dfrac{\varepsilon}{2}}{r}=\frac{\varepsilon^{2}}{4r}.$$ Такое напряжение получается при $R=r$ — это известное условие максимальной мощности в нагрузке.
Шаг 5 — сверимся с графиком. Кривая обращается в нуль при $U=6$ В, значит $\varepsilon=6$ В. Вершина приходится на $U=3$ В — ровно половина от $6$ В, как и должно быть. Максимум равен $5$ Вт, отсюда $$r=\frac{\varepsilon^{2}}{4P_\text{max}}=\frac{36}{20}=1{,}8\ \text{Ом}.$$ Проверим: при $U=3$ В ток $I=\dfrac{6-3}{1{,}8}\approx1{,}67$ А, и мощность $P=3\cdot1{,}67=5$ Вт — всё сходится, график действительно является параболой, предсказанной законами постоянного тока.
Мощность в нагрузке равна $P=UI$, а сила тока однозначно связана с напряжением на нагрузке законом Ома для полной цепи: $U=\varepsilon-Ir$, откуда $I=\dfrac{\varepsilon-U}{r}$. Подставляя, получаем $$P=U\cdot\frac{\varepsilon-U}{r}=\frac{\varepsilon}{r}U-\frac{1}{r}U^{2}.$$
Это квадратичная функция напряжения с отрицательным коэффициентом при $U^{2}$, поэтому её график — парабола с ветвями вниз. Она пересекает ось напряжений в точках $U=0$ (нагрузка закорочена) и $U=\varepsilon$ (цепь разомкнута), а максимум мощности $P_\text{max}=\dfrac{\varepsilon^{2}}{4r}$ достигается посередине, при $U=\dfrac{\varepsilon}{2}$. Именно такую картину и показывает график: нули при $0$ В и $6$ В и максимум $5$ Вт при $3$ В, что соответствует $\varepsilon=6$ В и $r=1{,}8$ Ом.