ID: 00026293
Три параллельных длинных прямых проводника 1, 2 и 3 расположены на одинаковом расстоянии а друг от друга (см. рисунки 1 и 2). В каждом проводнике протекает электрический ток силой I . Токи во всех проводниках текут в одном направлении. Определите направление результирующей силы, действующей на проводник 1 со стороны проводников 2 и 3. Сделайте рисунок, указав в области проводника 1 вектора магнитной индукции полей, созданных проводниками 2 и 3, вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля и вектор результирующей силы. Ответ поясните, опираясь на законы электродинамики.
Рис. 1 Рис. 2
Источник: ФИПИ
Сначала разберись с картинкой. На рисунке 1 три длинных прямых проводника нарисованы «в перспективе», и стрелки показывают, что токи во всех трёх текут в одну сторону. Рисунок 2 — то же самое, но в поперечном разрезе: проводники стоят в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$ (проводник 1 сверху, 3 слева внизу, 2 справа внизу), а кружки с точкой означают, что ток в каждом проводнике направлен из плоскости чертежа на нас.
Обоснуем модель. Проводники длинные и прямые, поэтому магнитное поле каждого из них в точке, где стоит соседний, считается по известной картине: линии индукции поля прямого тока — концентрические окружности вокруг провода, лежащие в плоскости чертежа, а направление определяется правилом правой руки (правилом буравчика). Поля от разных проводников складываются по принципу суперпозиции магнитных полей: $\vec{B}=\vec{B}_2+\vec{B}_3$. Сила, действующая на проводник 1 с током в этом суммарном поле, — это сила Ампера, её направление даёт правило левой руки. Собственное поле проводника 1 на него самого силы не оказывает, поэтому учитываем только поля соседей.
Шаг 1 — поле от проводника 2 в точке 1. Ток в проводнике 2 идёт на нас, значит линии индукции его поля закручены против часовой стрелки. Вектор индукции всегда касателен к такой окружности, то есть перпендикулярен отрезку 2–1. Проводник 1 находится выше и левее проводника 2, поэтому вектор $\vec{B}_2$ в точке 1 направлен влево-вниз. Его модуль $B_2=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$.
Шаг 2 — поле от проводника 3 в точке 1. Тот же ход мысли: линии закручены против часовой стрелки, вектор перпендикулярен отрезку 3–1, а сам проводник 1 стоит выше и правее проводника 3, поэтому $\vec{B}_3$ направлен влево-вверх. Модуль такой же: $B_3=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$, потому что расстояние тоже равно $a$.
Шаг 3 — складываем поля. Векторы $\vec{B}_2$ и $\vec{B}_3$ равны по модулю, а угол между ними составляет $60^\circ$. Один отклонён вниз от горизонтали, другой на столько же вверх, поэтому вертикальные составляющие уничтожаются, а горизонтальные складываются. Суммарный вектор получается горизонтальным, направленным параллельно отрезку 3–2 в сторону проводника 3, а его модуль $$B=2B_2\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}\,\mu_0 I}{2\pi a}.$$
Шаг 4 — сила Ампера на проводник 1. Ток в проводнике 1 идёт на нас, суммарное поле в этом месте направлено горизонтально влево. По правилу левой руки (или по правилу векторного произведения $\vec{F}=I\,\vec{l}\times\vec{B}$) сила оказывается перпендикулярной и току, и полю, то есть лежит в плоскости чертежа и направлена вертикально вниз — от проводника 1 к середине отрезка 3–2. Модуль на единицу длины: $$\frac{F}{l}=IB=\frac{\sqrt{3}\,\mu_0 I^{2}}{2\pi a}.$$
И всё сходится с простой проверкой: параллельные токи одного направления притягиваются, поэтому проводник 1 тянет и к проводнику 2, и к проводнику 3. Две одинаковые силы притяжения, направленные вдоль сторон 1–2 и 1–3, симметричны относительно вертикали, значит их сумма идёт точно по вертикали вниз — ровно то, что мы получили через силу Ампера.
Результирующая сила, действующая на проводник 1, направлена в плоскости поперечного сечения от проводника 1 к середине отрезка, соединяющего проводники 2 и 3, то есть перпендикулярно этому отрезку. На рисунке 2, где проводник 1 стоит в верхней вершине треугольника, а проводники 3 и 2 — в левой и правой нижних, эта сила направлена вертикально вниз.
В области проводника 1 надо изобразить: вектор $\vec{B}_2$ — перпендикулярно отрезку 1–2, влево-вниз; вектор $\vec{B}_3$ — перпендикулярно отрезку 1–3, влево-вверх; их сумму $\vec{B}$ — горизонтально, параллельно отрезку 3–2 и в сторону проводника 3; и силу $\vec{F}$ — вертикально вниз, к середине отрезка 3–2. По модулю на единицу длины $\dfrac{F}{l}=\dfrac{\sqrt{3}\,\mu_0 I^{2}}{2\pi a}$.