Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x равно Aсos левая круглая скобка дробь: числитель: 2пи, знаменатель: T конец дроби t правая круглая скобка , где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника уменьшится вдвое? Ответ дайте в с.

Задание 4 ЕГЭ по физике: Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени…

№2. Задание 4

ID: 00025358

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону $x=Aсos( \dfrac{2\mathrm{\pi}}{T} t )$ , где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника уменьшится вдвое? Ответ дайте в с.

Источник: ФИПИ

Решение

Смещение груза меняется по закону $x=A\cos\dfrac{2\pi}{T}t$ — при $t=0$ груз в крайнем положении, $x=A$ , потенциальная энергия пружины максимальна.

Потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения: $E_p\sim x^2$ . Нужно найти момент, когда энергия уменьшится вдвое, то есть $x^2$ станет вдвое меньше $A^2$ :

$\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=\dfrac{1}{\sqrt2}$

Это выполняется, когда аргумент косинуса равен $\dfrac{\pi}{4}$ : $\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{\pi}{4}$ , откуда $t=\dfrac{T}{8}$ .

$t=\dfrac{1}{8}=0{,}125\ \text{с}$

Заметь: энергия убывает вдвое не за половину, а за одну восьмую периода — это следствие того, что энергия зависит от $x^2$ , а не от самого $x$ .

Ответ

0,125