Колебания и Волны — Задание 4 ЕГЭ по физике №00025358

Смещение груза меняется по закону $x=A\cos\dfrac{2\pi}{T}t$ — при $t=0$ груз в крайнем положении, $x=A$, потенциальная энергия пружины максимальна.

Потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения: $E_p\sim x^2$. Нужно найти момент, когда энергия уменьшится вдвое, то есть $x^2$ станет вдвое меньше $A^2$:

$$\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=\dfrac{1}{\sqrt2}$$

Это выполняется, когда аргумент косинуса равен $\dfrac{\pi}{4}$: $\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{\pi}{4}$, откуда $t=\dfrac{T}{8}$.

$$t=\dfrac{1}{8}=0{,}125\ \text{с}$$

Заметь: энергия убывает вдвое не за половину, а за одну восьмую периода — это следствие того, что энергия зависит от $x^2$, а не от самого $x$.