Дано

Высота комнаты H = 3 м. Лампа — отрезок (линейный источник) длиной L = 0{,}5 м у потолка. Диск радиусом R_{\text{д}} = 0{,}5 м на высоте h = 2 м от пола, центр диска под центром лампы. Найти минимальный линейный размер полной тени (тени) на полу.

Идея

Полная тень — это место на полу, куда свет не доходит НИ ОТ ОДНОЙ точки лампы (диск загораживает источник целиком). Лампа — это палочка длиной 0{,}5 м, то есть источник вытянут в одном направлении и почти точечный в перпендикулярном. Поэтому тень получается не круглой: в одном направлении она шире, в другом уже. «Минимальный размер» — это её узкая сторона.

Поставим начало координат на оси системы. Источник на высоте 3 м, диск на 2 м, пол на 0. Край тени строится прямыми лучами от краёв источника через край диска (свет идёт прямолинейно), а дальше — подобие треугольников.

Поперёк лампы (там источник «точечный»)

В этом направлении лампа не имеет ширины — работает как точка на высоте 3 м. Тень диска: луч от источника (0;\,3) через край диска (0{,}5;\,2). Наклон: на 1 м спуска x меняется на \dfrac{0{,}5-0}{2-3} = -0{,}5. От диска до пола спускаемся на 2 м, поэтому на полу x = 0{,}5 + (-0{,}5)\cdot(0-2) = 0{,}5 + 1 = 1{,}5 м. Полный поперечный размер тени = 2 \cdot 1{,}5 = 3 м.

Вдоль лампы (источник вытянут на \pm0{,}25 м)

Здесь важно: точка пола в полной тени, только если она затемнена от КАЖДОГО конца лампы. Граница полной тени — это пересечение теней от всех точек источника, то есть берём самую «строгую» (ближнюю к центру) границу.

Для источника в точке x_{\text{и}} край тени на полу: x = R_{\text{д}} + \dfrac{R_{\text{д}} - x_{\text{и}}}{h - H}\cdot(0 - h) = 0{,}5 + \dfrac{0{,}5 - x_{\text{и}}}{2-3}\cdot(-2) = 1{,}5 - 2 x_{\text{и}}.

Конец лампы на той же стороне x_{\text{и}} = +0{,}25 м даёт самую близкую границу: x = 1{,}5 - 2\cdot0{,}25 = 1{,}0 м. Значит, с каждой стороны полная тень доходит лишь до 1{,}0 м от оси, и её размер вдоль лампы = 2 \cdot 1{,}0 = 2 м.

Ответ

Поперёк лампы тень шириной 3 м, вдоль лампы — 2 м. Минимальный линейный размер тени:

2 м.