ID: 00017645
К потолку комнаты высотой 3 м прикреплена люминесцентная лампа длиной 0,5 м. На высоте 2 м от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром 1 м. Центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали. Определите минимальный линейный размер тени от диска на полу.
Источник: ФИПИ
Высота комнаты $H = 3$ м. Лампа — отрезок (линейный источник) длиной $L = 0{,}5$ м у потолка. Диск радиусом $R_{\text{д}} = 0{,}5$ м на высоте $h = 2$ м от пола, центр диска под центром лампы. Найти минимальный линейный размер полной тени (тени) на полу.
Полная тень — это место на полу, куда свет не доходит НИ ОТ ОДНОЙ точки лампы (диск загораживает источник целиком). Лампа — это палочка длиной $0{,}5$ м, то есть источник вытянут в одном направлении и почти точечный в перпендикулярном. Поэтому тень получается не круглой: в одном направлении она шире, в другом уже. «Минимальный размер» — это её узкая сторона.
Поставим начало координат на оси системы. Источник на высоте $3$ м, диск на $2$ м, пол на $0$. Край тени строится прямыми лучами от краёв источника через край диска (свет идёт прямолинейно), а дальше — подобие треугольников.
В этом направлении лампа не имеет ширины — работает как точка на высоте $3$ м. Тень диска: луч от источника $(0;\,3)$ через край диска $(0{,}5;\,2)$. Наклон: на $1$ м спуска $x$ меняется на $\dfrac{0{,}5-0}{2-3} = -0{,}5$. От диска до пола спускаемся на $2$ м, поэтому на полу $x = 0{,}5 + (-0{,}5)\cdot(0-2) = 0{,}5 + 1 = 1{,}5$ м. Полный поперечный размер тени $= 2 \cdot 1{,}5 = 3$ м.
Здесь важно: точка пола в полной тени, только если она затемнена от КАЖДОГО конца лампы. Граница полной тени — это пересечение теней от всех точек источника, то есть берём самую «строгую» (ближнюю к центру) границу.
Для источника в точке $x_{\text{и}}$ край тени на полу: $x = R_{\text{д}} + \dfrac{R_{\text{д}} - x_{\text{и}}}{h - H}\cdot(0 - h) = 0{,}5 + \dfrac{0{,}5 - x_{\text{и}}}{2-3}\cdot(-2) = 1{,}5 - 2 x_{\text{и}}$.
Конец лампы на той же стороне $x_{\text{и}} = +0{,}25$ м даёт самую близкую границу: $x = 1{,}5 - 2\cdot0{,}25 = 1{,}0$ м. Значит, с каждой стороны полная тень доходит лишь до $1{,}0$ м от оси, и её размер вдоль лампы $= 2 \cdot 1{,}0 = 2$ м.
Поперёк лампы тень шириной $3$ м, вдоль лампы — $2$ м. Минимальный линейный размер тени:
2 м.
2 м