Задание 23 ЕГЭ по физике №00003683

Дано:

$H = 4 \text{ м}$ (высота комнаты) $D_{\text{панно}} = 2 \text{ м}$ (диаметр источника) $D_{\text{диск}} = 2 \text{ м}$ (диаметр непрозрачного диска) $h_{\text{диск}} = 2 \text{ м}$ (высота диска от пола)

Найти:

$S_{\text{полутени}}$ — ?

Решение:

Тень — область, куда не попадает свет ни от одной части источника. Полутень — область, куда доходит свет только от части источника. Диск находится на высоте 2 м от пола, расстояние от диска до панно: $4 - 2 = 2$ м. Расстояние от диска до пола: 2 м. Методом подобия треугольников определяем размер внешнего круга (граница полутени) на полу. Крайний луч от края панно проходит мимо края диска и продолжается до пола. Расстояние от оси до края панно = 1 м, расстояние от панно до диска = 2 м, от диска до пола = 2 м. По подобию треугольников: $$\tan\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow L = 1 \cdot \frac{2}{2} = 1 \text{ м}$$ Диаметр всего круга на полу: $D_{\text{пол}} = D_{\text{диск}} + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 + 2 = 6 \text{ м}$ Диаметр тени равен диаметру диска: $D_{\text{тень}} = 2$ м (симметрия, диски одинаковы). Площадь всего круга: $$S_{\text{круг}} = \frac{\pi D_{\text{пол}}^2}{4} = \frac{\pi \cdot 36}{4} = 9\pi \approx 28{,}26 \text{ м}^2$$ Площадь тени: $$S_{\text{тень}} = \frac{\pi D_{\text{тень}}^2}{4} = \frac{\pi \cdot 4}{4} = \pi \approx 3{,}14 \text{ м}^2$$ Площадь полутени: $$S_{\text{полутени}} = S_{\text{круг}} - S_{\text{тень}} = 9\pi - \pi = 8\pi \approx 25 \text{ м}^2$$