ID: 00017649
На потолке комнаты высотой 4 м закреплена небольшая светящаяся лампочка. На высоте 2 м от пола параллельно полу расположен непрозрачный квадрат со стороной 1 м. Определите площадь тени на полу.
Источник: ФИПИ
$H = 4$ м (высота комнаты, лампочка на потолке)
$h = 2$ м (высота квадрата над полом)
$a = 1$ м (сторона квадрата)
квадрат параллелен полу
Найти: $S_{тени}$ — ?
Лампочка — это точечный источник: свет идёт из одной точки прямыми лучами во все стороны. Лучи, задевающие края квадрата, продолжаются дальше и очерчивают тень на полу — это как бы «увеличенная копия» квадрата. Насколько копия больше оригинала, подсказывает простое подобие треугольников: во сколько раз пол дальше от лампочки, чем квадрат, во столько раз тень шире квадрата.
1. Расстояния от лампочки. Лампочка на потолке, на высоте $H = 4$ м над полом.
До квадрата (он на высоте $h=2$ м над полом) сверху: $H - h = 4 - 2 = 2$ м.
До пола: $H = 4$ м.
2. Коэффициент увеличения тени. Лучи из одной точки расходятся, поэтому размеры растут пропорционально пройденному от лампочки расстоянию (подобные треугольники с общей вершиной в лампочке):
$k = \dfrac{\text{расстояние до пола}}{\text{расстояние до квадрата}} = \dfrac{H}{H-h} = \dfrac{4}{2} = 2.$
3. Сторона тени:
$a_{тени} = k\cdot a = 2\cdot 1 = 2\ \text{м}.$
4. Площадь тени. Тень — тоже квадрат (квадрат параллелен полу), поэтому:
$S_{тени} = a_{тени}^2 = 2^2 = 4\ \text{м}^2.$
Обрати внимание: площадь растёт как квадрат увеличения. Размер увеличился в 2 раза, а площадь — в $2^2 = 4$ раза.